Número complejo

Número con parte real y parte imaginaria

Un número complejo se puede representar visualmente como un par de números ( a ,  b ) que forman un vector en un diagrama llamado diagrama de Argand , que representa el plano complejo . Re es el eje real, Im es el eje imaginario e i es la " unidad imaginaria ", que satisface i ² = −1 .

En matemáticas , un número complejo es un elemento de un sistema numérico que extiende los números reales con un elemento específico denotado i , llamado unidad imaginaria y que satisface la ecuación ; Todo número complejo se puede expresar en la forma , donde a y b son números reales. Debido a que ningún número real satisface la ecuación anterior, René Descartes llamó a i un número imaginario . Para el número complejo , a se llama ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a+bi}$ parte real , ybse llama parteparte imaginaria . El conjunto de números complejos se denota con cualquiera de lossímboloso C. A pesar de la nomenclatura histórica, los números complejos "imaginarios" tienen unamatemáticatan firme como la de los números reales, y son herramientas fundamentales en la descripción científica del mundo natural. ^[1][un] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Los números complejos permiten soluciones a todas las ecuaciones polinómicas , incluso aquellas que no tienen soluciones en números reales. Más precisamente, el teorema fundamental del álgebra afirma que toda ecuación polinómica no constante con coeficientes reales o complejos tiene una solución que es un número complejo. Por ejemplo, la ecuación no tiene solución real, ya que el cuadrado de un número real no puede ser negativo, pero tiene las dos soluciones complejas no reales y . ${\displaystyle (x+1)^{2}=-9}$ ${\displaystyle -1+3i}$ ${\displaystyle -1-3i}$

La suma, resta y multiplicación de números complejos se pueden definir de forma natural utilizando la regla junto con las leyes asociativa , conmutativa y distributiva . Todo número complejo distinto de cero tiene un inverso multiplicativo . Esto convierte los números complejos en un campo con los números reales como subcampo. ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Los números complejos también forman un espacio vectorial real de dimensión dos , con base estándar . Esta base estándar convierte los números complejos en un plano cartesiano , llamado plano complejo . Esto permite una interpretación geométrica de los números complejos y sus operaciones y, a la inversa, algunos objetos y operaciones geométricos se pueden expresar en términos de números complejos. Por ejemplo, los números reales forman la línea real , que se representa como el eje horizontal del plano complejo, mientras que los múltiplos reales de son el eje vertical. Un número complejo también se puede definir por sus coordenadas polares geométricas : el radio se llama valor absoluto del número complejo, mientras que el ángulo desde el eje real positivo se llama argumento del número complejo. Los números complejos de valor absoluto forman el círculo unitario . Sumar un número complejo fijo a todos los números complejos define una traslación en el plano complejo, y multiplicar por un número complejo fijo es una similitud centrada en el origen (dilatar por el valor absoluto y rotar por el argumento). La operación de conjugación compleja es la simetría de reflexión respecto del eje real. ${\displaystyle \{1,i\}}$ ${\displaystyle i}$

Los números complejos forman una rica estructura que es simultáneamente un campo algebraicamente cerrado , un álgebra conmutativa sobre los reales y un espacio vectorial euclidiano de dimensión dos.

Definición

Una ilustración del número complejo z = x + iy en el plano complejo . La parte real es x y su parte imaginaria es y .

Un número complejo es un número de la forma a + bi , donde a y b son números reales e i es un indeterminado que satisface i ² = −1 . Por ejemplo, 2 + 3 i es un número complejo. ^[3]

De esta manera, un número complejo se define como un polinomio con coeficientes reales en el indeterminado único i , para lo cual se impone la relación i ² + 1 = 0 . Según esta definición, los números complejos se pueden sumar y multiplicar mediante la suma y multiplicación de polinomios. La relación i ² = −1 implica i ^{4 k} = 1, i ^{4 k +1} = i , i ^{4 k +2} = −1 y i ^{4 k +3} = − i , para todos los números enteros k ; por tanto, cualquier polinomio resultante de la suma y multiplicación de números complejos puede reducirse a un polinomio lineal de la forma a + bi con coeficientes reales a, b. Según esta definición de multiplicación, cada número complejo distinto de cero tiene un recíproco de número complejo, lo que convierte a los números complejos en un campo : ${\displaystyle a+bi\neq 0+0i}$

${\displaystyle {\frac {1}{a+bi}}\ =\ \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\right)+\left({\frac {-b\ \ }{a^{2}+b^{2}}}\right)i.}$

Formalmente, los números complejos pueden definirse como el anillo cociente del anillo polinómico en el indeterminado i , por el ideal generado por el polinomio i ² + 1 (ver más abajo). ^[4]

Notación

Para un número complejo a + bi , el número real a se llama su parte real , y el número real b es su parte imaginaria : observe que la parte imaginaria es la coordenada real b , no el número complejo bi . ^{[5] [6]} La parte real de un número complejo z se denota Re( z ) , o ; la parte imaginaria es Im ( z ) , o : por ejemplo ,. ${\displaystyle {\mathcal {Re}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Im}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)}$ ${\textstyle \operatorname {Re} (2+3i)=2}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (2+3i)=3}$

Un número real a puede considerarse como un número complejo a + 0 i , cuya parte imaginaria es 0. Un número puramente imaginario bi es un número complejo 0 + bi , cuya parte real es cero. Al igual que con los polinomios, es común escribir a + 0 i = a y 0 + bi = bi . Además, cuando la parte imaginaria es negativa, b < 0 , se escribe a − bi en lugar de a + (− b ) i ; por ejemplo, 3 − 4 yo = 3 + (−4) yo . Dado que la multiplicación de i y un real es conmutativa, a + bi puede escribirse como a + ib , lo que suele ser más conveniente ortográficamente cuando b es una expresión. ^[7]

El conjunto de todos los números complejos se indica con ( negrita de pizarra ) o C (negrita vertical). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

En algunas disciplinas como el electromagnetismo y la ingeniería eléctrica , se usa j en lugar de i , ya que i representa frecuentemente la corriente eléctrica , ^{[8] [9]} y los números complejos se escriben como a + bj o a + jb .

Visualización

Un número complejo z , como punto (negro) y su vector de posición (azul)

Un número complejo z puede identificarse con el par ordenado de números reales , que pueden interpretarse como coordenadas de un punto en un plano euclidiano con coordenadas estándar, que luego se denomina plano complejo o diagrama de Argand , ^{[10] [b] [ 11]} lleva el nombre de Jean-Robert Argand . Otro espacio sobre el que se pueden proyectar las coordenadas es la superficie bidimensional de una esfera, que entonces se denomina esfera de Riemann . ${\displaystyle (\Re (z),\Im (z))}$

Plano complejo cartesiano

La definición de números complejos que involucran dos valores reales arbitrarios sugiere inmediatamente el uso de coordenadas cartesianas en el plano complejo. El eje horizontal ( real ) se utiliza generalmente para mostrar la parte real, con valores crecientes hacia la derecha, y la parte imaginaria marca el eje vertical ( imaginario ), con valores crecientes hacia arriba.

Un número cartografiado puede verse como el punto coordinado o como un vector de posición desde el origen hasta este punto. Por tanto , los valores de las coordenadas de un número complejo z pueden expresarse en su forma cartesiana , rectangular o algebraica .

En particular, las operaciones de suma y multiplicación adquieren un carácter geométrico muy natural, cuando los números complejos se ven como vectores de posición: la suma corresponde a la suma de vectores , mientras que la multiplicación (ver más abajo) corresponde a multiplicar sus magnitudes y sumar sus argumentos (ángulos de la eje real positivo). Visto de esta manera, la multiplicación de un número complejo por i corresponde a girar el vector de posición en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen un cuarto de vuelta ( 90° ); algebraicamente:

$${\displaystyle (x+yi)\,i=-y+xi.}$$

Plano complejo polar

Módulo y argumento

El argumento φ y el módulo r ubican un punto en el plano complejo.

Una opción alternativa para coordenadas en el plano complejo es el sistema de coordenadas polares que utiliza la distancia del punto z desde el origen ( O ) y el ángulo subtendido entre el eje real positivo y el segmento de línea Oz en sentido antihorario. Esto lleva a la forma polar.

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

donde r es el valor absoluto de z y es el argumento de z . A veces esto se abrevia como . Usando la fórmula de Euler , esto se puede escribir como ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi }$

$${\displaystyle z=re^{i\varphi }=r\exp(i\varphi ).}$$

En electrónica , se representa un fasor con amplitud r y fase φ en notación angular : ^[12]

$${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$$

valor absolutomódulomagnitudz = x + yi^[13]

$${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

${\displaystyle z=x=x+0i}$ ${\displaystyle r=|z|=|x|}$

Según el teorema de Pitágoras , el valor absoluto de un número complejo es la distancia desde el origen hasta el punto que representa el número complejo en el plano complejo.

El argumento de z (a veces llamado "fase" φ ) ^[11] es el ángulo del radio Oz con el eje real positivo, y se escribe como arg z , expresado en radianes en este artículo. El argumento se puede encontrar a partir de la forma rectangular x + yi ^[14] como tangente inversa del cociente de partes imaginarias por reales. El ángulo es multivaluado , definido sólo hasta la suma de múltiplos enteros de , pero normalmente se elige su valor principal dentro del intervalo . Un valor principal negativo se puede desplazar al rango positivo [0, 2 π ) sumando 2 π . El ángulo polar para es indeterminado, pero a veces se asigna arbitrariamente . Una fórmula concisa para el argumento utiliza una identidad de medio ángulo y la rama estándar del arcotangente: ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \operatorname {arg} (0)=0}$

$${\displaystyle \varphi =\arg(x+yi)=\left\{{\begin{array}{cl}2\arctan {\tfrac {y}{x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\text{if }}y\neq 0{\text{ or }}x>0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{array}}\right.}$$

Esta es también la definición de la función arcotangente de dos variables atan2 : . ${\textstyle \varphi =\operatorname {arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} \left(x,y\right)}$

Gráficos complejos

Un gráfico de rueda de colores de la expresión.( z ² − 1)( z − 2 − yo ) ²/z ² + 2 + 2 yo

Al visualizar funciones complejas , se necesitan tanto una entrada como una salida complejas. Debido a que cada número complejo se representa en dos dimensiones, graficar visualmente una función compleja requeriría la percepción de un espacio de cuatro dimensiones , lo cual sólo es posible en proyecciones. Debido a esto, se han diseñado otras formas de visualizar funciones complejas.

En la coloración de dominio, las dimensiones de salida están representadas por el color y el brillo, respectivamente. Cada punto en el plano complejo como dominio está adornado , generalmente con el color que representa el argumento del número complejo y el brillo que representa la magnitud. Los puntos oscuros marcan módulos cercanos a cero, los puntos más brillantes están más lejos del origen, la gradación puede ser discontinua, pero se supone monótona. Los colores a menudo varían en pasos deπ/3para 0 a 2 π desde rojo, amarillo, verde, cian, azul hasta magenta. Estos gráficos se denominan gráficos de rueda de color . Esto proporciona una forma sencilla de visualizar las funciones sin perder información. La imagen muestra ceros para ±1, (2 + i ) y polos en ${\displaystyle \pm {\sqrt {-2-2i}}.}$

Historia

La solución en radicales (sin funciones trigonométricas ) de una ecuación cúbica general , cuando sus tres raíces son números reales, contiene las raíces cuadradas de números negativos , situación que no puede rectificarse mediante la factorización asistida por la prueba de la raíz racional , si la cúbico es irreducible ; este es el llamado casus irreducibilis ("caso irreductible"). Este enigma llevó al matemático italiano Gerolamo Cardano a concebir los números complejos alrededor de 1545 en su Ars Magna , ^[15] aunque su comprensión era rudimentaria; además, más tarde describió los números complejos como "tan sutiles como inútiles". ^[16] Cardano usó números imaginarios, pero describió su uso como "tortura mental". ^[17] Esto fue antes del uso del plano gráfico complejo. Cardano y otros matemáticos italianos, en particular Scipione del Ferro , crearon en el siglo XVI un algoritmo para resolver ecuaciones cúbicas que generalmente tenía una solución real y dos soluciones que contenían un número imaginario. Como ignoraron las respuestas con números imaginarios, Cardano las encontró inútiles. ^[18]

El trabajo en el problema de los polinomios generales condujo finalmente al teorema fundamental del álgebra , que muestra que, con números complejos, existe una solución para cada ecuación polinómica de grado uno o superior. Los números complejos forman así un campo algebraicamente cerrado , donde cualquier ecuación polinómica tiene una raíz .

Muchos matemáticos contribuyeron al desarrollo de los números complejos. Las reglas para la suma, resta, multiplicación y extracción de raíces de números complejos fueron desarrolladas por el matemático italiano Rafael Bombelli . ^{[19] El matemático irlandés} William Rowan Hamilton desarrolló aún más un formalismo más abstracto para los números complejos , quien extendió esta abstracción a la teoría de los cuaterniones . ^[20]

Quizás pueda decirse que la primera referencia fugaz a las raíces cuadradas de números negativos se produjo en la obra del matemático griego Héroe de Alejandría en el siglo I d. C. , donde en su Stereometrica consideró, aparentemente por error, el volumen de un tronco imposible de una pirámide para llegar al término en sus cálculos, que hoy se simplificaría a . ^[c] Las cantidades negativas no fueron concebidas en las matemáticas helenísticas y Hero simplemente las reemplazó por sus positivas ^[22] ${\displaystyle {\sqrt {81-144}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-63}}=3i{\sqrt {7}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}.}$

El ímpetu para estudiar los números complejos como un tema en sí mismo surgió por primera vez en el siglo XVI cuando los matemáticos italianos ( Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano ) descubrieron soluciones algebraicas para las raíces de polinomios cúbicos y cuárticos . Pronto se comprendió (pero se demostró mucho más tarde) ^[23] que estas fórmulas, incluso si uno estuviera interesado sólo en soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos. De hecho, más tarde se demostró que el uso de números complejos es inevitable cuando las tres raíces son reales y distintas. ^[d] Sin embargo, la fórmula general todavía se puede utilizar en este caso, con cierto cuidado para abordar la ambigüedad resultante de la existencia de tres raíces cúbicas para números complejos distintos de cero. Rafael Bombelli fue el primero en abordar explícitamente estas soluciones aparentemente paradójicas de ecuaciones cúbicas y desarrolló las reglas para la aritmética compleja, tratando de resolver estas cuestiones.

El término "imaginario" para estas cantidades fue acuñado por René Descartes en 1637, quien se esforzó en enfatizar su naturaleza irreal: ^[24]

... a veces sólo imaginaria, es decir uno puede imaginar tantas como dije en cada ecuación, pero a veces no existe ninguna cantidad que coincida con la que imaginamos.
[ ... quelquefois solo imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en cada ecuación, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imaginar. ]

Otra fuente de confusión fue que la ecuación parecía ser caprichosamente inconsistente con la identidad algebraica , que es válida para números reales no negativos a y b , y que también se usaba en cálculos de números complejos con uno de a , b positivo y el otros negativos. El uso incorrecto de esta identidad en el caso en que a y b son negativos, y la identidad relacionada , atormentaba incluso a Leonhard Euler . Esta dificultad finalmente llevó a la convención de utilizar el símbolo especial i en lugar de para evitar este error. ^{[ cita necesaria ]} Aun así, Euler consideró natural presentar a los estudiantes los números complejos mucho antes de lo que lo hacemos hoy. En su libro de texto de álgebra elemental, Elementos de álgebra , introduce estos números casi de inmediato y luego los utiliza de forma natural en todo momento. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

En el siglo XVIII, los números complejos ganaron un uso más amplio, ya que se observó que la manipulación formal de expresiones complejas podía usarse para simplificar cálculos que involucraban funciones trigonométricas. Por ejemplo, en 1730 Abraham de Moivre señaló que las identidades que relacionan funciones trigonométricas de un múltiplo entero de un ángulo con potencias de funciones trigonométricas de ese ángulo podrían reexpresarse mediante la siguiente fórmula de Moivre :

$${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .}$$

En 1748, Euler fue más allá y obtuvo la fórmula de análisis complejo de Euler : ^[25]

$${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$$

manipulando formalmente series de potencias complejas y observó que esta fórmula podría usarse para reducir cualquier identidad trigonométrica a identidades exponenciales mucho más simples.

La idea de un número complejo como un punto en el plano complejo (arriba) fue descrita por primera vez por el matemático danés - noruego Caspar Wessel en 1799, ^[26] aunque ya se había anticipado en 1685 en el Tratado de álgebra de Wallis . ^[27]

Las memorias de Wessel aparecieron en las Actas de la Academia de Copenhague , pero pasaron desapercibidas. En 1806, Jean-Robert Argand publicó de forma independiente un folleto sobre números complejos y proporcionó una prueba rigurosa del teorema fundamental del álgebra . ^[28] Carl Friedrich Gauss había publicado anteriormente una prueba esencialmente topológica del teorema en 1797, pero expresó sus dudas en ese momento sobre "la verdadera metafísica de la raíz cuadrada de −1". ^[29] No fue hasta 1831 que superó estas dudas y publicó su tratado sobre números complejos como puntos en el plano, ^[30] estableciendo en gran medida la notación y la terminología modernas: ^[31]

Si antes se contemplaba este tema desde un punto de vista falso y se encontraba una oscuridad misteriosa, esto se debe en gran parte a una terminología torpe. Si no se hubieran llamado unidades +1, −1, positivas, negativas o imaginarias (o incluso imposibles), sino, digamos, unidades directas, inversas o laterales, difícilmente se habría podido hablar de tal oscuridad. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

A principios del siglo XIX, otros matemáticos descubrieron de forma independiente la representación geométrica de los números complejos: Buée, ^{[32] [33]} Mourey , ^[34] Warren, ^{[35] [36] [37]} Français y su hermano Bellavitis . . ^{[38] [39]}

El matemático inglés GH Hardy comentó que Gauss fue el primer matemático en utilizar números complejos de "una manera realmente segura y científica", aunque matemáticos como el noruego Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacob Jacobi los utilizaban necesariamente de forma rutinaria antes de que Gauss publicara su tratado de 1831. ^[40]

Augustin-Louis Cauchy y Bernhard Riemann juntos llevaron las ideas fundamentales del análisis complejo a un alto estado de finalización, comenzando alrededor de 1825 en el caso de Cauchy.

Los términos comunes utilizados en la teoría se deben principalmente a los fundadores. Argand llamó cos φ + i sin φ al factor de dirección y al módulo ; ^{[e] [41]} Cauchy (1821) llamó cos φ + i sin φ la forma reducida (l'expression réduite) ^[42] y aparentemente introdujo el término argumento ; Gauss usó i para , ^[f] introdujo el término número complejo para a + bi , ^[g] y llamó a ² + b ² la norma . ^[h] La expresión coeficiente de dirección , frecuentemente utilizada para cos φ + i sen φ , se debe a Hankel (1867), ^[46] y el valor absoluto, para módulo, se debe a Weierstrass. ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

Los escritores clásicos posteriores sobre la teoría general incluyen a Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrass y muchos otros. A principios del siglo XX se iniciaron trabajos importantes (incluida una sistematización) en el cálculo multivariado complejo. Wilhelm Wirtinger logró resultados importantes en 1927.

Relaciones y operaciones

Igualdad

Los números complejos tienen una definición de igualdad similar a la de los números reales; dos números complejos a ₁ + b ₁ i y a ₂ + b ₂ i son iguales si y sólo si sus partes real e imaginaria son iguales, es decir, si a ₁ = a ₂ y b ₁ = b ₂ . Los números complejos distintos de cero escritos en forma polar son iguales si y sólo si tienen la misma magnitud y sus argumentos difieren en un múltiplo entero de 2 π .

Realizar pedidos

A diferencia de los números reales, los números complejos no tienen un orden natural. En particular, no existe un orden lineal en los números complejos que sea compatible con la suma y la multiplicación. Por tanto, los números complejos no tienen la estructura de un campo ordenado. Una explicación para esto es que toda suma de cuadrados no trivial en un campo ordenado es distinta de cero, y i ² + 1 ² = 0 es una suma de cuadrados no trivial. Por lo tanto, se piensa naturalmente que los números complejos existen en un plano bidimensional.

Conjugado

Representación geométrica de z y su conjugado z en el plano complejo

El conjugado complejo del número complejo z = x + yi viene dado por x − yi . Se denota por z o z * . ^[47] Esta operación unaria sobre números complejos no se puede expresar aplicando únicamente sus operaciones básicas suma, resta, multiplicación y división.

Geométricamente, z es la "reflexión" de z alrededor del eje real. La conjugación dos veces da el número complejo original

$${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z,}$$

lo que hace de esta operación una involución . La reflexión deja sin cambios tanto la parte real como la magnitud de z , es decir

$${\displaystyle \operatorname {Re} ({\overline {z}})=\operatorname {Re} (z)\quad }$$

${\displaystyle \quad |{\overline {z}}|=|z|.}$

La parte imaginaria y el argumento de un número complejo z cambian de signo bajo conjugación

$${\displaystyle \operatorname {Im} ({\overline {z}})=-\operatorname {Im} (z)\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {arg} {\overline {z}}\equiv -\operatorname {arg} z{\pmod {2\pi }}.}$$

Para obtener detalles sobre el argumento y la magnitud, consulte la sección sobre forma polar.

El producto de un número complejo z = x + yi y su conjugado se conoce como cuadrado absoluto . Siempre es un número real no negativo y es igual al cuadrado de la magnitud de cada uno:

$${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}=|{\overline {z}}|^{2}.}$$

Esta propiedad se puede utilizar para convertir una fracción con un denominador complejo en una fracción equivalente con un denominador real expandiendo tanto el numerador como el denominador de la fracción por el conjugado del denominador dado. Este proceso a veces se denomina " racionalización " del denominador (aunque el denominador en la expresión final podría ser un número real irracional), porque se parece al método para eliminar raíces de expresiones simples en un denominador.

Las partes real e imaginaria de un número complejo z se pueden extraer mediante la conjugación:

$${\displaystyle \operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}},\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}.}$$

La conjugación se distribuye entre las operaciones aritméticas complejas básicas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z\pm w}}&={\overline {z}}\pm {\overline {w}},\\{\overline {z\cdot w}}&={\overline {z}}\cdot {\overline {w}},\\{\overline {z/w}}&={\overline {z}}/{\overline {w}}.\end{aligned}}}$$

La conjugación también se emplea en geometría inversiva , una rama de la geometría que estudia reflexiones más generales que las relativas a una línea. En el análisis de redes de circuitos eléctricos , el conjugado complejo se utiliza para encontrar la impedancia equivalente cuando se busca el teorema de transferencia de potencia máxima .

Adición y sustracción

La suma de dos números complejos se puede realizar geométricamente construyendo un paralelogramo.

Dos números complejos y se suman más fácilmente sumando por separado sus partes reales e imaginarias. Es decir: ${\displaystyle a=x+yi}$ ${\displaystyle b=u+vi}$

$${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$$

la resta

$${\displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}$$

La multiplicación de un número complejo y un número real r se puede hacer de manera similar multiplicando por separado r y las partes real e imaginaria de a : ${\displaystyle a=x+yi}$

$${\displaystyle ra=r(x+yi)=rx+ryi.}$$

sustraendo−1minuendo

$${\displaystyle a-b=a+(-1)\,b.}$$

Utilizando la visualización de números complejos en el plano complejo, la suma tiene la siguiente interpretación geométrica: la suma de dos números complejos a y b , interpretados como puntos en el plano complejo, es el punto que se obtiene al construir un paralelogramo a partir de los tres vértices O , y las puntas de las flechas marcadas con a y b (siempre que no estén en una línea). De manera equivalente, llamando a estos puntos A , B , respectivamente y al cuarto punto del paralelogramo X los triángulos OAB y XBA son congruentes .

Multiplicación y cuadrado

Las reglas de la propiedad distributiva , las propiedades conmutativas (de suma y multiplicación) y la propiedad definitoria i ² = −1 se aplican a los números complejos. Resulta que

$${\displaystyle (x+yi)\,(u+vi)=(xu-yv)+(xv+yu)i.}$$

En particular,

$${\displaystyle (x+yi)^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi.}$$

Recíproco y división

Usando el conjugado, el recíproco de un número complejo distinto de cero se puede dividir en componentes reales e imaginarios. ${\displaystyle z=x+yi}$

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$

Esto se puede utilizar para expresar una división de un número complejo arbitrario por un número complejo distinto de cero como ${\displaystyle w=u+vi}$ ${\displaystyle z=x+yi}$

$${\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}={\frac {(u+vi)(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {ux+vy}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {vx-uy}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$

Multiplicación y división en forma polar.

Multiplicación de 2 + i (triángulo azul) y 3 + i (triángulo rojo). El triángulo rojo se gira para que coincida con el vértice del azul (la suma de ambos ángulos en los términos φ ₁ + φ ₂ en la ecuación) y se estira por la longitud de la hipotenusa del triángulo azul (la multiplicación de ambos radios, según el término r ₁ r ₂ en la ecuación).

Las fórmulas de multiplicación, división y exponenciación son más simples en forma polar que las fórmulas correspondientes en coordenadas cartesianas. Dados dos números complejos z ₁ = r ₁ (cos  φ ₁ + i  sin  φ ₁ ) y z ₂ = r ₂ (cos  φ ₂ + i  sin  φ ₂ ) , debido a las identidades trigonométricas

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\cos a\cos b&-\sin a\sin b&{}={}&\cos(a+b)\\\cos a\sin b&+\sin a\cos b&{}={}&\sin(a+b).\end{alignedat}}}$$

podemos derivar

$${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$$

ide vueltai ² = −1

$${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$$

5 + 5 iπ /4radianesarctan

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$$

arctanfórmulas tipo Machinπ

De manera similar, la división está dada por

$${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).}$$

Raíz cuadrada

Las raíces cuadradas de a + bi (con b ≠ 0 ) son , donde ${\displaystyle \pm (\gamma +\delta i)}$

$${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$$

y

$${\displaystyle \delta =(\operatorname {sgn} b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},}$$

donde sgn es la función signum . Esto se puede ver elevando al cuadrado para obtener a + bi . ^{[48] ​​[49]} Aquí se llama módulo de a + bi , y el signo de la raíz cuadrada indica la raíz cuadrada con parte real no negativa, llamada raíz cuadrada principal ; también donde z = a + bi . ^[50] ${\displaystyle \pm (\gamma +\delta i)}$ ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {z{\overline {z}}}},}$

Funcion exponencial

La función exponencial se puede definir para cada número complejo z mediante la serie de potencias ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ;z\mapsto \exp z}$

$${\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},}$$

radio de convergencia

El valor en 1 de la función exponencial es el número de Euler.

$${\displaystyle e=\exp 1=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\approx 2.71828.}$$

zLa continuación analíticaze ${\displaystyle \exp z=e^{z}.}$

$${\displaystyle e^{z}=\exp z.}$$

Ecuación funcional

La función exponencial satisface la ecuación funcional. Esto se puede demostrar comparando la expansión en series de potencias de ambos miembros o aplicando la continuación analítica de la restricción de la ecuación a argumentos reales. ${\displaystyle e^{z+t}=e^{z}e^{t}.}$

la fórmula de euler

La fórmula de Euler establece que, para cualquier número real y ,

$${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y.}$$

La ecuación funcional implica así que, si x e y son reales, se tiene

$${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y,}$$

logaritmo complejo

En el caso real, el logaritmo natural se puede definir como la inversa de la función exponencial. Para extender esto al dominio complejo, se puede partir de la fórmula de Euler. Implica que, si un número complejo se escribe en forma polar ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{\times }}$

$${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$$

${\displaystyle r,\varphi \in \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle \ln z=\ln r+i\varphi }$$

logaritmo complejo

$${\displaystyle \exp \ln z=\exp(\ln r+i\varphi )=r\exp i\varphi =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=z.}$$

Sin embargo, debido a que el coseno y el seno son funciones periódicas, la suma de un múltiplo entero de 2 π a φ no cambia z . Por ejemplo, e ^iπ = e ^{3 iπ} = −1 , por lo que tanto iπ como 3 iπ son valores posibles para el logaritmo natural de −1 .

Por lo tanto, si el logaritmo complejo no se define como una función multivaluada

$${\displaystyle \ln z=\left\{\ln r+i(\varphi +2\pi k)\mid k\in \mathbb {Z} \right\},}$$

corte de ramacodominiobiyectiva

$${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}$$

Si no es un número real no positivo (un número positivo o no real), el valor principal resultante del logaritmo complejo se obtiene con − π < φ < π . Es una función analítica fuera de los números reales negativos, pero no puede prolongarse a una función que sea continua en cualquier número real negativo , donde el valor principal es ln z = ln(− z ) + iπ . ^[i] ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}$ ${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$

exponenciación

Si x > 0 es real y z complejo, la exponenciación se define como

$${\displaystyle x^{z}=e^{z\ln x},}$$

ln

Parece natural extender esta fórmula a valores complejos de x , pero existen algunas dificultades derivadas del hecho de que el logaritmo complejo no es realmente una función, sino una función multivaluada .

De ello se deduce que si z es como arriba, y si t es otro número complejo, entonces la exponenciación es la función multivaluada

$${\displaystyle z^{t}=\left\{e^{t(\ln r+i(\varphi +2\pi k))}\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}$$

Exponentes enteros y fraccionarios

Representación geométrica de las raíces 2.ª a 6.ª de un número complejo z , en forma polar re ^iφ  donde r = | z  | y φ = arg z . Si z es real, φ = 0 o π . Las raíces principales se muestran en negro.

Si, en la fórmula anterior, t es un número entero, entonces el seno y el coseno son independientes de k . Por lo tanto, si el exponente n es un número entero, entonces z ⁿ está bien definido y la fórmula de exponenciación se simplifica a la fórmula de de Moivre :

$${\displaystyle z^{n}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$$

Las n n ésimas raíces de un número complejo z están dadas por

$${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$$

0 ≤ k ≤ norte − 1n-rk ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$

Si bien la n- ésima raíz de un número real positivo r se elige como el número real positivo c que satisface c ⁿ = r , no existe una forma natural de distinguir una n- ésima raíz compleja particular de un número complejo. Por lo tanto, la n -ésima raíz es una función de valor n de z . Esto implica que, al contrario del caso de los números reales positivos, se tiene

$${\displaystyle (z^{n})^{1/n}\neq z,}$$

n

Propiedades

Estructura de campo

El conjunto de los números complejos es un campo . ^[51] Brevemente, esto significa que se cumplen los siguientes hechos: primero, dos números complejos cualesquiera se pueden sumar y multiplicar para obtener otro número complejo. En segundo lugar, para cualquier número complejo z , su inverso aditivo – z también es un número complejo; y tercero, todo número complejo distinto de cero tiene un número complejo recíproco . Además, estas operaciones satisfacen una serie de leyes, por ejemplo la ley de conmutatividad de la suma y la multiplicación para dos números complejos cualesquiera z ₁ y z ₂ : ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}+z_{2}&=z_{2}+z_{1},\\z_{1}z_{2}&=z_{2}z_{1}.\end{aligned}}}$$

A diferencia de los reales, no es un campo ordenado , es decir, no es posible definir una relación z ₁ < z ₂ que sea compatible con la suma y la multiplicación. De hecho, en cualquier campo ordenado, el cuadrado de cualquier elemento es necesariamente positivo, por lo que i ² = −1 excluye la existencia de un orden en ^[52] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Cuando el campo subyacente de un tema o construcción matemática es el campo de números complejos, el nombre del tema generalmente se modifica para reflejar ese hecho. Por ejemplo: análisis complejo , matriz compleja , polinomio complejo y álgebra de Lie compleja .

Soluciones de ecuaciones polinómicas.

Dados números complejos (llamados coeficientes ) a ₀ , ...,  a _n , la ecuación

$${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$$

za ₁ , ...,  an _sea^[4]teorema fundamental del álgebraCarl Friedrich GaussJean le Rond d'Alembertcampo algebraicamente cerradocuerpo de los números racionalesx ² − 2√2x ² + 4xx ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Hay varias pruebas de este teorema, ya sea mediante métodos analíticos como el teorema de Liouville , o topológicos como el número de devanado , o una prueba que combina la teoría de Galois y el hecho de que cualquier polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real.

Debido a este hecho, los teoremas que se cumplen para cualquier campo algebraicamente cerrado se aplican a. Por ejemplo, cualquier matriz cuadrada compleja no vacía tiene al menos un valor propio (complejo) . ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Caracterización algebraica

El campo tiene las siguientes tres propiedades: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Primero, tiene la característica 0. Esto significa que 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 para cualquier número de sumandos (todos los cuales son iguales a uno).
• En segundo lugar, su grado de trascendencia sobre el campo principal de es la cardinalidad del continuo . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$
• En tercer lugar, es algebraicamente cerrado (ver arriba).

Se puede demostrar que cualquier campo que tenga estas propiedades es isomorfo (como campo) a. Por ejemplo, la clausura algebraica del campo del número p -ádico también satisface estas tres propiedades, por lo que estos dos campos son isomorfos (como campos, pero no como campos topológicos). ^[53] Además, es isomorfo al campo de series complejas de Puiseux . Sin embargo, especificar un isomorfismo requiere el axioma de elección . Otra consecuencia de esta caracterización algebraica es que contiene muchos subcampos propios que son isomorfos a . ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Caracterización como campo topológico.

La caracterización anterior de describe sólo los aspectos algebraicos de Es decir, no se tratan las propiedades de cercanía y continuidad , que son importantes en áreas como el análisis y la topología . La siguiente descripción de un campo topológico (es decir, un campo que está equipado con una topología que permite la noción de convergencia) sí tiene en cuenta las propiedades topológicas. contiene un subconjunto P (es decir, el conjunto de números reales positivos) de elementos distintos de cero que satisfacen las tres condiciones siguientes: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• P es cerrado bajo suma, multiplicación y toma de inversas.
• Si x e y son elementos distintos de P , entonces x − y o y − x están en P.
• Si S es cualquier subconjunto no vacío de P , entonces S + P = x + P para algún x en ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Además, tiene un automorfismo involutivo no trivial x ↦ x * (es decir, la conjugación compleja), tal que x x * está en P para cualquier x distinto de cero en ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Cualquier campo F con estas propiedades puede dotarse de una topología tomando los conjuntos B ( x ,  p ) = {  y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P  }  como base , donde x se extiende sobre el campo y p se extiende sobre P. Con esta topología F es isomorfo como campo topológico a ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Los únicos campos topológicos localmente compactos conectados son y Esto da otra caracterización de como campo topológico, ya que se puede distinguir porque los números complejos distintos de cero están conectados , mientras que los números reales distintos de cero no lo son. ^[54] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Construcción formal

Construcción como pares ordenados.

William Rowan Hamilton introdujo el enfoque para definir el conjunto de números complejos ^[55] como el conjunto de pares ordenados ( a ,  b ) de números reales, en el que se imponen las siguientes reglas para la suma y la multiplicación: ^[51] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&=(ac-bd,bc+ad).\end{aligned}}}$$

Entonces es sólo una cuestión de notación expresar ( a ,  b ) como a + bi .

Construcción como campo cociente.

Aunque esta construcción de bajo nivel describe con precisión la estructura de los números complejos, la siguiente definición equivalente revela la naturaleza algebraica de manera más inmediata. Esta caracterización se basa en la noción de campos y polinomios. Un campo es un conjunto dotado de operaciones de suma, resta, multiplicación y división que se comportan como es familiar, por ejemplo, con los números racionales. Por ejemplo, la ley distributiva. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle (x+y)z=xz+yz}$$

xyzp ( X )coeficientes ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$$

a ₀ , ...,  an _sonde anilloanillo polinomial ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$

El conjunto de números complejos se define como el anillo cociente ^[4] . Este campo de extensión contiene dos raíces cuadradas de −1 , a saber (las clases laterales de) X y − X , respectivamente. (Las clases laterales de) 1 y X forman una base como un espacio vectorial real , lo que significa que cada elemento del campo de extensión se puede escribir de forma única como una combinación lineal en estos dos elementos. De manera equivalente, los elementos del campo de extensión se pueden escribir como pares ordenados ( a ,  b ) de números reales. El anillo cociente es un campo, porque X ² + 1 es irreducible , por lo que el ideal que genera es máximo . ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Las fórmulas de suma y multiplicación en el módulo anular de la relación X ² = −1 , corresponden a las fórmulas de suma y multiplicación de números complejos definidos como pares ordenados. Entonces las dos definiciones del campo son isomorfas (como campos). ${\displaystyle \mathbb {R} [X],}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Aceptar que es algebraicamente cerrado, ya que es una extensión algebraica de en este enfoque, es por lo tanto el cierre algebraico de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Representación matricial de números complejos.

Los números complejos a + bi también se pueden representar mediante matrices de 2 × 2 que tienen la forma

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$$

absubanillo2 × 2

Un cálculo simple muestra que el mapa

$${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$$

isomorfismo de anillodeterminantetranspuesta

La descripción geométrica de la multiplicación de números complejos también se puede expresar en términos de matrices de rotación utilizando esta correspondencia entre números complejos y dichas matrices. La acción de la matriz sobre un vector ( x , y ) corresponde a la multiplicación de x + iy por a + ib . En particular, si el determinante es 1 , existe un número real t tal que la matriz tiene la forma

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\;\;\cos t\end{pmatrix}}.}$$

rotaciónt ${\displaystyle \cos t+i\sin t}$

Análisis complejo

Gráfico de rueda de colores de sin(1/ z ) . Las partes blancas del interior se refieren a números que tienen valores absolutos grandes.

El estudio de funciones de una variable compleja se conoce como análisis complejo y tiene un enorme uso práctico en matemáticas aplicadas , así como en otras ramas de las matemáticas. A menudo, las pruebas más naturales de enunciados en análisis real o incluso en teoría de números emplean técnicas de análisis complejo (consulte el teorema de los números primos para ver un ejemplo). A diferencia de las funciones reales, que comúnmente se representan como gráficos bidimensionales, las funciones complejas tienen gráficos de cuatro dimensiones y pueden ilustrarse útilmente codificando con colores un gráfico tridimensional para sugerir cuatro dimensiones, o animando la transformación dinámica de la función compleja de la plano complejo.

Funciones exponenciales complejas y relacionadas

Las nociones de series convergentes y funciones continuas en el análisis (real) tienen análogos naturales en el análisis complejo. Se dice que una secuencia de números complejos converge si y sólo si sus partes real e imaginaria lo hacen. Esto es equivalente a la definición de límites (ε, δ) , donde el valor absoluto de los números reales se reemplaza por el de los números complejos. Desde un punto de vista más abstracto, dotado de la métrica ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$$

espacio métricodesigualdad del triángulo

$${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$$

z ₁z ₂

Como en el análisis real, esta noción de convergencia se utiliza para construir una serie de funciones elementales : la función exponencial exp z , también escrita e ^z , se define como la serie infinita

$${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$

La serie que define las funciones trigonométricas reales seno y coseno , así como las funciones hiperbólicas senh y cosh, también se trasladan a argumentos complejos sin cambios. Para las otras funciones trigonométricas e hiperbólicas, como la tangente , las cosas son un poco más complicadas, ya que las series que las definen no convergen para todos los valores complejos. Por lo tanto, hay que definirlos en términos de seno, coseno y exponencial o, de manera equivalente, utilizando el método de continuación analítica .

La fórmula de Euler dice:

$${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$

φ

$${\displaystyle \exp(i\pi )=-1}$$

la identidad de Eulerinfinidadz

$${\displaystyle \exp z=w}$$

w ≠ 0zlogaritmo complejow

$${\displaystyle \log w=\ln |w|+i\arg w,}$$

argumentologaritmo naturalfunción multivalor2 πvalor principalintervalo (− π , π ]

La exponenciación compleja z ^ω se define como

$${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \ln z),}$$

ωω = 1 / nnlas n-

Los números complejos, a diferencia de los números reales, en general no satisfacen las identidades de potencia y logaritmo no modificadas, particularmente cuando se tratan ingenuamente como funciones de un solo valor; ver falla de potencia e identidades de logaritmos . Por ejemplo, no satisfacen

$${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$$

Funciones holomorfas

Una función f : → se dice que es holomorfa en un punto si es diferenciable compleja en una vecindad abierta de ese punto. Una condición necesaria (pero no suficiente) para que f sea holomorfa es que satisfaga las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Por ejemplo, cualquier aplicación lineal → se puede escribir en la forma ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle f(z)=az+b{\overline {z}}}$$

absi y sólo si b = 0ecuaciones de Cauchy-Riemann ${\displaystyle {\overline {z}}}$

El análisis complejo muestra algunas características que no son evidentes en el análisis real. Por ejemplo, dos funciones holomorfas cualesquiera f y g que concuerden en un subconjunto abierto arbitrariamente pequeño de necesariamente concuerdan en todas partes. Las funciones meromorfas , funciones que pueden escribirse localmente como f ( z )/( z − z ₀ ) ⁿ con una función holomorfa f , todavía comparten algunas de las características de las funciones holomorfas. Otras funciones tienen singularidades esenciales , como sin(1/ z ) en z = 0 . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Aplicaciones

Los números complejos tienen aplicaciones en muchas áreas científicas, incluido el procesamiento de señales , la teoría de control , el electromagnetismo , la dinámica de fluidos , la mecánica cuántica , la cartografía y el análisis de vibraciones . Algunas de estas aplicaciones se describen a continuación.

Geometría

formas

Tres puntos no colineales en el plano determinan la forma del triángulo . Ubicando los puntos en el plano complejo, esta forma de triángulo se puede expresar mediante aritmética compleja como ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle \{u,v,w\}}$

$${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}$$

transformación afínla similitudclase de similitud^[56] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{u,v,w\}}$

geometría fractal

El conjunto de Mandelbrot con los ejes real e imaginario etiquetados.

El conjunto de Mandelbrot es un ejemplo popular de fractal formado en el plano complejo. Se define trazando cada ubicación donde la iteración de la secuencia no diverge cuando se itera infinitamente. De manera similar, los conjuntos de Julia tienen las mismas reglas, excepto que permanecen constantes. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$

triangulos

Cada triángulo tiene una inelipse de Steiner única : una elipse dentro del triángulo y tangente a los puntos medios de los tres lados del triángulo. Los focos de la inelipse de Steiner de un triángulo se pueden encontrar de la siguiente manera, según el teorema de Marden : ^{[57] [58]} Denotemos los vértices del triángulo en el plano complejo como a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i , y c = x _C + y _C i . Escribe la ecuación cúbica , toma su derivada y equipara la derivada (cuadrática) a cero. El teorema de Marden dice que las soluciones de esta ecuación son los números complejos que denotan las ubicaciones de los dos focos de la inelipse de Steiner. ${\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}$

Teoría algebraica de números

Construcción de un pentágono regular usando regla y compás .

Como se mencionó anteriormente, cualquier ecuación polinómica no constante (en coeficientes complejos) tiene solución en . A fortiori , lo mismo ocurre si la ecuación tiene coeficientes racionales. Las raíces de tales ecuaciones se denominan números algebraicos y son un objeto principal de estudio en la teoría algebraica de números . En comparación con , la clausura algebraica de , que también contiene todos los números algebraicos, tiene la ventaja de ser fácilmente comprensible en términos geométricos. De esta forma, se pueden utilizar métodos algebraicos para estudiar cuestiones geométricas y viceversa. Con métodos algebraicos, aplicando más específicamente la maquinaria de la teoría de campos al campo numérico que contiene raíces de unidad , se puede demostrar que no es posible construir un nonágono regular usando sólo un compás y una regla , un problema puramente geométrico. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Otro ejemplo son los enteros gaussianos ; es decir, números de la forma x + iy , donde x e y son números enteros, que pueden usarse para clasificar sumas de cuadrados .

Teoría analítica de números

La teoría analítica de números estudia los números, a menudo enteros o racionales, aprovechando el hecho de que pueden considerarse números complejos, en los que se pueden utilizar métodos analíticos. Esto se hace codificando información de teoría de números en funciones de valores complejos. Por ejemplo, la función zeta de Riemann ζ( s ) está relacionada con la distribución de números primos .

Integrales impropias

En los campos aplicados, los números complejos se utilizan a menudo para calcular ciertas integrales impropias de valores reales , mediante funciones de valores complejos. Existen varios métodos para hacer esto; ver métodos de integración de contornos .

Ecuaciones dinámicas

En las ecuaciones diferenciales , es común encontrar primero todas las raíces complejas r de la ecuación característica de una ecuación diferencial lineal o un sistema de ecuaciones y luego intentar resolver el sistema en términos de funciones base de la forma f ( t ) = e ^rt . Asimismo, en las ecuaciones en diferencias , se utilizan las raíces complejas r de la ecuación característica del ^sistema de ecuaciones en diferencias, para intentar resolver el sistema en términos de funciones base de la forma f ( t ) = rt .

Álgebra lineal

La descomposición propia es una herramienta útil para calcular potencias matriciales y exponenciales matriciales . Sin embargo, a menudo requiere el uso de números complejos, incluso si la matriz es real (por ejemplo, una matriz de rotación ).

Los números complejos suelen generalizar conceptos originalmente concebidos en los números reales. Por ejemplo, la transpuesta conjugada generaliza la transpuesta , las matrices hermitianas generalizan matrices simétricas y las matrices unitarias generalizan matrices ortogonales .

En matemáticas aplicadas

Teoría del control

En la teoría del control , los sistemas a menudo se transforman del dominio del tiempo al dominio de frecuencia complejo utilizando la transformada de Laplace . A continuación se analizan los ceros y los polos del sistema en el plano complejo . Las técnicas del lugar de las raíces , el diagrama de Nyquist y el diagrama de Nichols utilizan el plano complejo.

En el método del lugar de las raíces, es importante si los ceros y los polos están en los semiplanos izquierdo o derecho, es decir, si tienen una parte real mayor o menor que cero. Si un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) tiene polos que son

• en el semiplano derecho, será inestable ,
• todo en el semiplano izquierdo, será estable ,
• en el eje imaginario, tendrá estabilidad marginal .

Si un sistema tiene ceros en el semiplano derecho, es un sistema de fase no mínima .

Análisis de señal

Los números complejos se utilizan en el análisis de señales y otros campos para una descripción conveniente de señales que varían periódicamente. Para funciones reales dadas que representan cantidades físicas reales, a menudo en términos de senos y cosenos, se consideran funciones complejas correspondientes cuyas partes reales son las cantidades originales. Para una onda sinusoidal de una frecuencia determinada , el valor absoluto | z | del correspondiente z es la amplitud y el argumento arg z es la fase .

Si se emplea el análisis de Fourier para escribir una señal de valor real dada como una suma de funciones periódicas, estas funciones periódicas a menudo se escriben como funciones de valores complejos de la forma

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \{X(t)\}}$$

y

$${\displaystyle X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}}$$

donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo A codifica la fase y la amplitud como se explicó anteriormente.

Este uso también se extiende al procesamiento de señales digitales y al procesamiento de imágenes digitales , que utilizan versiones digitales del análisis de Fourier (y análisis de ondas ) para transmitir, comprimir , restaurar y procesar señales de audio digitales , imágenes fijas y señales de video .

Otro ejemplo, relevante para las dos bandas laterales de modulación de amplitud de la radio AM, es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {Re} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {Re} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}}$$

En física

Electromagnetismo e ingeniería eléctrica.

En ingeniería eléctrica , la transformada de Fourier se utiliza para analizar voltajes y corrientes variables . El tratamiento de resistencias , condensadores e inductores se puede unificar introduciendo resistencias imaginarias dependientes de la frecuencia para los dos últimos y combinando los tres en un único número complejo llamado impedancia . Este enfoque se llama cálculo fasorial .

En ingeniería eléctrica, la unidad imaginaria se denota por j , para evitar confusión con I , que generalmente se usa para denotar corriente eléctrica , o, más particularmente, i , que generalmente se usa para denotar corriente eléctrica instantánea.

Dado que el voltaje en un circuito de CA oscila, se puede representar como

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),}$$

Para obtener la cantidad mensurable se toma la parte real:

$${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} (V)=\operatorname {Re} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.}$$

La señal de valor complejo V ( t ) se denomina representación analítica de la señal medible de valor real v ( t ) .^[59]

Dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos , se utilizan funciones complejas para describir el flujo potencial en dos dimensiones .

Mecánica cuántica

El campo de números complejos es intrínseco a las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica , donde los espacios complejos de Hilbert proporcionan el contexto para una de esas formulaciones que es conveniente y quizás la más estándar. Las fórmulas fundamentales originales de la mecánica cuántica (la ecuación de Schrödinger y la mecánica matricial de Heisenberg ) utilizan números complejos.

Relatividad

En relatividad especial y general , algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo se vuelven más simples si se toma el componente tiempo del continuo espacio-tiempo como imaginario. (Este enfoque ya no es estándar en la relatividad clásica, pero se utiliza de manera esencial en la teoría cuántica de campos ). Los números complejos son esenciales para los espinores , que son una generalización de los tensores utilizados en la relatividad.

Generalizaciones y nociones relacionadas.

Gráfico de cuaterniones de Cayley Q8 que muestra ciclos de multiplicación por i , j y k

El proceso de ampliación del campo de reales se conoce como construcción Cayley-Dickson . Se puede llevar a dimensiones superiores, produciendo los cuaterniones y octoniones que (como espacio vectorial real) son de dimensión 4 y 8, respectivamente. En este contexto los números complejos han sido llamados binariones . ^[60] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$

Así como al aplicar la construcción a los reales se pierde la propiedad de ordenamiento , las propiedades familiares de los números reales y complejos desaparecen con cada extensión. Los cuaterniones pierden conmutatividad, es decir, x · y ≠ y · x para algunos cuaterniones x ,  y , y la multiplicación de los octoniones , además de no ser conmutativa, deja de ser asociativa: ( x · y )· z ≠ x ·( y · z ) para algunos octoniones x ,  y ,  z .

Los números reales, complejos, cuaterniones y octoniones son álgebras de división normadas . Según el teorema de Hurwitz , son los únicos; los sedeniones , el siguiente paso en la construcción de Cayley-Dickson, no tienen esta estructura. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La construcción de Cayley-Dickson está estrechamente relacionada con la representación regular del pensamiento como un -álgebra (un espacio vectorial con una multiplicación), con respecto a la base (1,  i ) . Esto significa lo siguiente: el mapa lineal ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$$

wde 2 × 2(1,  i )

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}$$

representación lineal ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$$

J ² = − I

$${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$$

estructura compleja lineal ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Los números hipercomplejos también se generalizan y, por ejemplo, esta noción contiene los números complejos divididos , que son elementos del anillo (a diferencia de los números complejos). En este anillo, la ecuación a ² = 1 tiene cuatro soluciones. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$

El campo es la compleción del campo de los números racionales , con respecto a la métrica habitual de valor absoluto . Otras opciones de métricas conducen a los campos de p -números ádicos (para cualquier número primo p ), que son, por tanto, análogos a . No hay otras formas no triviales de completar que y según el teorema de Ostrowski . Las clausuras algebraicas de todavía llevan una norma, pero (a diferencia de ) no están completas con respecto a ella. La terminación de resulta ser algebraicamente cerrada. Por analogía, el campo se llama p -números complejos ádicos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$

Los campos y sus extensiones de campos finitos, incluidos, se denominan campos locales . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Ver también

• Superficie algebraica
• Movimiento circular usando números complejos.
• Sistema de base compleja
• Geometría compleja
• Número dual complejo
• Entero de Eisenstein
• Álgebra geométrica (que incluye el plano complejo como el subespacio de espinor bidimensional ) ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}^{+}}$
• Número complejo unitario

Notas

1. "Los números complejos, tanto como los reales, y quizás incluso más, encuentran una unidad con la naturaleza que es verdaderamente notable. Es como si la naturaleza misma estuviera tan impresionada por el alcance y la consistencia del sistema de números complejos como nosotros mismos. y ha confiado a estos números las operaciones precisas de su mundo en sus escalas más pequeñas." — R. Penrose (2016, pág.73) ^[2]
2. Solomentsev 2001: "El plano cuyos puntos se identifican con los elementos de se llama plano complejo... La interpretación geométrica completa de los números complejos y las operaciones sobre ellos apareció por primera vez en el trabajo de C. Wessel (1799). La representación geométrica de números complejos, a veces llamado 'diagrama de Argand', entró en uso después de la publicación en 1806 y 1814 de artículos de JR Argand, quien redescubrió, en gran medida de forma independiente, los hallazgos de Wessel". ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
3. En la literatura, la unidad imaginaria suele preceder al signo radical, incluso cuando está precedida por un número entero. ^[21]
4. Se ha demostrado que los números imaginarios aparecen necesariamente en la fórmula cúbica cuando la ecuación tiene tres raíces reales diferentes por Pierre Laurent Wantzel en 1843, Vincenzo Mollame en 1890, Otto Hölder en 1891 y Adolf Kneser en 1892. Paolo Ruffini también proporcionó una prueba incompleta en 1799.——S. Confalonieri (2015) ^[23]
5. Argand 1814, pag. 204 define el módulo de un número complejo pero no lo nombra:
   "Dans ce qui suit, les accens, indifféremment placecés, seront usedés pour indicar la grandeur absolue des quantités qu'ils afectont; ainsi, si , et étant réels, on devra entender que ou ." ${\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{'}}$ ${\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$
   [En lo que sigue, los acentos, dondequiera que se coloquen, se utilizarán para indicar el tamaño absoluto de las cantidades a las que están asignados; así si , y siendo real, se debe entender que o .] Argand 1814, p. 208 define y nombra el módulo y el factor de dirección de un número complejo: "...  pourrait être appelé le module de , et représenterait la grandeur absolue de la ligne , tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en représenterait la dirección." [...  podría llamarse el módulo de y representaría el tamaño absoluto de la línea (Argand representó números complejos como vectores), mientras que el otro factor [es decir, ], cuyo módulo es la unidad [1], representaría su dirección. ] ${\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{'}}$ ${\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$
   ${\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$
   ${\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}\,,}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\tfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\sqrt {-1}}}$
6. Gauss escribe: ^[43] "Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter solos numeros integros reales versatur, ita theoremata circa residua biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplendent, quando campus arithmeticae ad quantitates imaginarias extenditur, ita ut absque restricte ipsius obiectum constituant numeri formae a + bi , denotantibus i , pro more quantitatem imaginariam , atque ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ a, b indefinite omnes numeros reales integros inter - et + . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$[Por supuesto, así como la aritmética superior se ha investigado hasta ahora en problemas sólo entre números enteros reales, así también los teoremas relativos a los residuos bicuadráticos brillan con la mayor sencillez y genuina belleza, cuando el campo de la aritmética se extiende a cantidades imaginarias , de modo que, sin restricciones sobre él, los números de la forma a + bi - i que denotan por convención la cantidad imaginaria , y las variables a, b [que denotan] todos los números enteros reales entre y - constituyen un objeto.] ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$
7. Gauss: ^[44] "Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub his contineri censeantur". [A tales números [es decir, números de la forma a + bi ] los llamaremos "números enteros complejos", de modo que los [números] reales no se consideren como lo opuesto a los [números] complejos sino [como] un tipo [de número que ] está, por así decirlo, contenido dentro de ellos.]
8. Gauss: ^[45] "Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est." [Llamamos "norma" al producto de un número complejo [por ejemplo, a + ib ] por su conjugado [ a - ib ]. Por tanto, el cuadrado de un número real debe considerarse como su norma.]
9. Sin embargo, para otra función inversa de la función exponencial compleja (y no el valor principal definido anteriormente), el corte de rama podría tomarse en cualquier otro rayo a través del origen.

Referencias

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Otras lecturas

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Matemático

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Histórico

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