Eudoxo de Cnido ( / ˈ juː d ə k s ə s / ; griego antiguo : Εὔδοξος ὁ Κνίδιος , Eúdoxos ho Knídios ; c. 390 – c. 340 a. C. ) fue un astrónomo , matemático , médico y legislador de la antigua Grecia . [1] Fue alumno de Arquitas y Platón . Todas sus obras originales se han perdido, aunque se conservan algunos fragmentos en los Comentarios de Hiparco sobre los fenómenos de Arato y Eudoxo . [2] Esféricas de Teodosio de Bitinia puede estar basada en una obra de Eudoxo.
Eudoxo, hijo de Esquines, nació y murió en Cnido (también transliterado Cnido), una ciudad en la costa suroeste de Anatolia . [3] Los años del nacimiento y la muerte de Eudoxo no se conocen completamente, pero Diógenes Laercio dio varios detalles biográficos, mencionó que Apolodoro dijo que alcanzó su apogeo en la 103.ª Olimpiada (368-365 a. C. ) y afirmó que murió a los 53 años. . A partir de este siglo XIX, los historiadores matemáticos reconstruyeron fechas del 408 al 355 a. C. , [4] pero los eruditos del siglo XX encontraron sus elecciones contradictorias y prefieren un año de nacimiento de c. 390 a.C. [5] Su nombre Eudoxo significa "honrado" o "de buena reputación" ( εὔδοξος , de eu "bueno" y doxa "opinión, creencia, fama", análogo al latín Benedictus ).
Según Diógenes Laercio, dando crédito a los Pinakes de Calímaco , Eudoxo estudió matemáticas con Arquitas (de Tarento , Magna Grecia ) y estudió medicina con Filistón el Siciliano . A la edad de 23 años viajó con el médico Teomedonte, quien era su mecenas y posiblemente su amante [6] , a Atenas para estudiar con los seguidores de Sócrates . Pasó dos meses allí, viviendo en El Pireo y caminando 11 kilómetros (7 millas) en cada sentido todos los días para asistir a las conferencias de los sofistas , y luego regresó a su casa en Cnido. Luego, sus amigos pagaron para enviarlo a Heliópolis , Egipto , durante 16 meses, para continuar sus estudios de astronomía y matemáticas. Desde Egipto, viajó luego al norte hasta Cízico , situada en la costa sur del mar de Mármara, la Propontis . Viajó al sur hasta la corte de Mausolo . Durante sus viajes reunió a muchos de sus propios estudiantes. [ cita necesaria ]
Alrededor del 368 a. C., Eudoxo regresó a Atenas con sus alumnos. Según algunas fuentes, [ cita necesaria ] c. En 367 asumió la dirección ( serch ) de la Academia durante el período de Platón en Siracusa y enseñó a Aristóteles . [ cita necesaria ] Finalmente regresó a su Cnido natal, donde sirvió en la asamblea de la ciudad. Mientras estuvo en Cnido, construyó un observatorio y continuó escribiendo y dando conferencias sobre teología , astronomía y meteorología . Tuvo un hijo, Aristágoras, y tres hijas, Actis, Filtis y Delfos.
En astronomía matemática, su fama se debe a la introducción de las esferas concéntricas , y a sus primeros aportes a la comprensión del movimiento de los planetas .
Su trabajo sobre proporciones muestra una visión de los números irracionales y el continuo lineal : permite un tratamiento riguroso de cantidades continuas y no sólo de números enteros o incluso de números racionales . Cuando Tartaglia y otros lo revivieron en el siglo XVI, se convirtió en la base del trabajo cuantitativo en la ciencia e inspiró el trabajo de Richard Dedekind sobre los números reales . [7]
Los cráteres de Marte y la Luna llevan su nombre. Una curva algebraica (la Kampyle de Eudoxo ) también lleva su nombre.
Algunos consideran que Eudoxo es el más grande de los matemáticos griegos clásicos , y en toda la Antigüedad sólo superado por Arquímedes . [8] Eudoxo fue probablemente la fuente de la mayor parte del libro V de los Elementos de Euclides . [9] Desarrolló rigurosamente el método de agotamiento de Antífona , precursor del cálculo integral que también fue utilizado de forma magistral por Arquímedes en el siglo siguiente. Al aplicar el método, Eudoxo demostró afirmaciones matemáticas como: las áreas de los círculos son entre sí como los cuadrados de sus radios, los volúmenes de las esferas son entre sí como los cubos de sus radios, el volumen de una pirámide es un tercio del El volumen de un prisma con la misma base y altura, y el volumen de un cono es un tercio del del cilindro correspondiente. [10]
Eudoxo introdujo la idea de magnitud matemática no cuantificada para describir y trabajar con entidades geométricas continuas como líneas, ángulos, áreas y volúmenes, evitando así el uso de números irracionales . Al hacerlo, invirtió el énfasis pitagórico en el número y la aritmética, centrándose en cambio en conceptos geométricos como base de las matemáticas rigurosas. Algunos pitagóricos, como Arquitas , el maestro de Eudoxo , habían creído que sólo la aritmética podía proporcionar una base para las pruebas. Inducido por la necesidad de comprender y operar con cantidades inconmensurables , Eudoxo estableció la que pudo haber sido la primera organización deductiva de las matemáticas sobre la base de axiomas explícitos . El cambio de enfoque de Eudoxo estimuló una división en las matemáticas que duró dos mil años. En combinación con una actitud intelectual griega despreocupada por los problemas prácticos, se produjo un retroceso significativo en el desarrollo de técnicas de aritmética y álgebra. [10]
Los pitagóricos habían descubierto que la diagonal de un cuadrado no tiene una unidad de medida común con los lados del cuadrado; Este es el famoso descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 no se puede expresar como la razón de dos números enteros. Este descubrimiento había anunciado la existencia de cantidades inconmensurables más allá de los números enteros y fracciones racionales, pero al mismo tiempo puso en duda la idea de medición y cálculo en geometría en su conjunto. Por ejemplo, Euclides proporciona una prueba elaborada del teorema de Pitágoras ( Elementos I.47), mediante el uso de la suma de áreas y solo mucho más tarde ( Elementos VI.31) una prueba más simple a partir de triángulos semejantes, que se basa en razones de segmentos de recta.
Los matemáticos griegos antiguos no calculaban con cantidades y ecuaciones como lo hacemos hoy; en cambio, una proporcionalidad expresaba una relación entre magnitudes geométricas. La relación entre dos magnitudes no era un valor numérico, como lo pensamos hoy; la relación de dos magnitudes era una relación primitiva entre ellas.
Eudoxo pudo restaurar la confianza en el uso de proporcionalidades al proporcionar una definición asombrosa del significado de la igualdad entre dos proporciones. Esta definición de proporción constituye el tema del Libro V de Euclides.
En la Definición 5 del Libro V de Euclides leemos:
Se dice que las magnitudes están en la misma proporción, la primera con la segunda y la tercera con la cuarta, cuando, si se toman equimúltiplos del primero y del tercero, y equimúltiplos del segundo y del cuarto, los primeros equimúltiplos por igual exceden , son igualmente iguales o inferiores a los últimos equimúltiplos tomados respectivamente en el orden correspondiente.
Al utilizar la notación moderna, esto se aclara de la siguiente manera. Si tomamos cuatro cantidades: a , b , c y d , entonces la primera y la segunda tienen una razón ; de manera similar el tercero y el cuarto tienen una proporción .
Ahora digamos que hacemos lo siguiente: Para dos enteros arbitrarios cualesquiera, m y n , formamos los equimúltiplos m · a y m · c del primero y del tercero; asimismo forme los equimúltiplos n · b y n · d del segundo y del cuarto.
Si sucede que m · a > n · b , entonces también debemos tener m · c > n · d . Si sucede que m · a = n · b , entonces también debemos tener m · c = n · d . Finalmente, si sucede que m · a < n · b , entonces también debemos tener m · c < n · d .
Observe que la definición depende de comparar las cantidades similares m · a y n · b , y las cantidades similares m · c y n · d , y no depende de la existencia de una unidad común para medir estas cantidades.
La complejidad de la definición refleja la profunda innovación conceptual y metodológica involucrada. Nos recuerda el famoso quinto postulado de Euclides sobre los paralelos, que es más extenso y complicado en su redacción que los demás postulados.
La definición eudoxiana de proporcionalidad utiliza el cuantificador "para cada..." para aprovechar lo infinito y lo infinitesimal, tal como lo hacen las modernas definiciones épsilon-delta de límite y continuidad.
Además, la propiedad de Arquímedes establecida en la definición 4 del libro V de Euclides originalmente no se debe a Arquímedes sino a Eudoxo. [11]
En la antigua Grecia , la astronomía era una rama de las matemáticas; Los astrónomos intentaron crear modelos geométricos que pudieran imitar la apariencia de los movimientos celestes. Por lo tanto, identificar la obra astronómica de Eudoxo como una categoría separada es una conveniencia moderna. Algunos de los textos astronómicos de Eudoxo cuyos nombres han sobrevivido incluyen:
Estamos bastante bien informados sobre el contenido de Fenómenos , ya que el texto en prosa de Eudoxo fue la base de un poema del mismo nombre de Arato . Hiparco citó el texto de Eudoxo en su comentario sobre Arato.
Una idea general del contenido de Sobre las velocidades puede obtenerse de la Metafísica XII, 8 de Aristóteles y de un comentario de Simplicio de Cilicia (siglo VI d. C.) sobre De caelo , otra obra de Aristóteles. Según una historia relatada por Simplicio, Platón planteó una pregunta a los astrónomos griegos: "¿Bajo el supuesto de qué movimientos uniformes y ordenados se pueden explicar los movimientos aparentes de los planetas?" [12] Platón propuso que los movimientos erráticos aparentemente caóticos de los planetas podrían explicarse mediante combinaciones de movimientos circulares uniformes centrados en una Tierra esférica, aparentemente una idea novedosa del siglo IV a.C.
En la mayoría de las reconstrucciones modernas del modelo Eudoxano, a la Luna se le asignan tres esferas:
Al Sol también se le asignan tres esferas. El segundo completa su moción en un año en lugar de un mes. La inclusión de una tercera esfera implica que Eudoxo creía erróneamente que el Sol tenía movimiento en latitud.
A los cinco planetas visibles ( Mercurio , Venus , Marte , Júpiter y Saturno ) se les asignan cuatro esferas cada uno:
Calipo , un astrónomo griego del siglo IV, añadió siete esferas a las 27 originales de Eudoxo (además de las esferas planetarias, Eudoxo incluía una esfera para las estrellas fijas). Aristóteles describió ambos sistemas, pero insistió en agregar esferas "desenrolladas" entre cada conjunto de esferas para cancelar los movimientos del conjunto exterior. A Aristóteles le preocupaba la naturaleza física del sistema; sin desenrolladores, los movimientos exteriores se transferirían a los planetas interiores.
Un defecto importante del sistema Eudoxiano es su incapacidad para explicar los cambios en el brillo de los planetas vistos desde la Tierra. Como las esferas son concéntricas, los planetas siempre permanecerán a la misma distancia de la Tierra. Este problema fue señalado en la Antigüedad por Autólico de Pitane . Los astrónomos respondieron introduciendo el deferente y el epiciclo , lo que hacía que un planeta variara su distancia. Sin embargo, la importancia de Eudoxo para la astronomía y, en particular, para la astronomía griega, es considerable.
Aristóteles , en la Ética a Nicómaco , [13] atribuye a Eudoxo un argumento a favor del hedonismo , es decir, que el placer es el bien último por el que se esfuerza la actividad. Según Aristóteles, Eudoxo planteó los siguientes argumentos a favor de esta posición:
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Laercio, Diógenes (1925). . Vidas de los filósofos eminentes . vol. 2:8. Traducido por Hicks, Robert Drew (edición en dos volúmenes). Biblioteca clásica de Loeb.
