Duplicar el cubo

Antiguo problema de construcción geométrica.

Un cubo unitario (lado = 1) y un cubo con el doble de volumen (lado = = 1.2599210498948732... OEIS : A002580 ). ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

La duplicación del cubo , también conocida como problema de Delian , es un antiguo problema geométrico ^{[a] [1] :9} . Dada la arista de un cubo , el problema requiere la construcción de la arista de un segundo cubo cuyo volumen sea el doble que el del primero. Al igual que con los problemas relacionados de cuadrar el círculo y trisecar el ángulo , ahora se sabe que duplicar el cubo es imposible de construir usando solo un compás y una regla , pero incluso en la antigüedad se conocían soluciones que empleaban otros métodos.

Los egipcios , los indios y, en particular, los griegos ^[2] eran conscientes del problema e hicieron muchos intentos inútiles para resolver lo que consideraban un problema obstinado pero soluble. ^{[3] [b] Sin embargo,} Pierre Wantzel finalmente demostró la inexistencia de una solución con compás y regla en 1837.

En términos algebraicos, duplicar un cubo unitario requiere la construcción de un segmento de recta de longitud x , donde x ³ = 2 ; en otras palabras, x = ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ , la raíz cúbica de dos . Esto se debe a que un cubo de longitud de lado 1 tiene un volumen de 1 ³ = 1 , y un cubo del doble de ese volumen (un volumen de 2) tiene una longitud de lado de la raíz cúbica de 2. Por lo tanto, la imposibilidad de duplicar el cubo es equivalente a la afirmación de que no es un número construible . Esto es consecuencia de que las coordenadas de un nuevo punto construido con compás y regla son raíces de polinomios sobre el campo generado por las coordenadas de puntos anteriores, de no mayor grado que una cuadrática . Esto implica que el grado de extensión de campo generado por un punto construible debe ser una potencia de 2. Sin embargo, la extensión de campo generada por es de grado 3. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Prueba de imposibilidad

Comenzamos con el segmento de línea unitario definido por los puntos (0,0) y (1,0) en el plano . Se requiere que construyamos un segmento de línea definido por dos puntos separados por una distancia de . Se muestra fácilmente que las construcciones con compás y regla permitirían que dicho segmento de línea se moviera libremente para tocar el origen , paralelo al segmento de línea unitario; por lo tanto, de manera equivalente podemos considerar la tarea de construir un segmento de línea de (0,0) a ( , 0), lo que implica construir el punto ( , 0). ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Respectivamente, las herramientas de compás y regla nos permiten crear círculos centrados en un punto previamente definido y que pasan por otro, y crear líneas que pasan por dos puntos previamente definidos. Cualquier punto recién definido surge como resultado de la intersección de dos de esos círculos, como la intersección de un círculo y una línea, o como la intersección de dos líneas. Un ejercicio de geometría analítica elemental muestra que en los tres casos, tanto las coordenadas x como y del punto recién definido satisfacen un polinomio de grado no mayor que un cuadrático, con coeficientes que son sumas, restas, multiplicaciones y divisiones que involucran las coordenadas de los puntos previamente definidos (y números racionales). Reformulado en terminología más abstracta, las nuevas coordenadas x e y tienen polinomios mínimos de grado como máximo 2 sobre el subcampo de generado por las coordenadas anteriores. Por tanto, el grado de extensión del campo correspondiente a cada nueva coordenada es 2 o 1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Entonces, dada una coordenada de cualquier punto construido, podemos proceder inductivamente hacia atrás a través de las coordenadas x e y de los puntos en el orden en que fueron definidas hasta llegar al par original de puntos (0,0) y (1, 0). Como toda extensión de campo tiene grado 2 o 1, y como la extensión de campo sobre las coordenadas del par de puntos originales es claramente de grado 1, se deduce de la regla de la torre que el grado de extensión de campo sobre cualquier coordenada de un El punto construido es una potencia de 2 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Ahora bien, se ve fácilmente que p ( x ) = x ³ − 2 = 0 es irreducible : cualquier factorización implicaría un factor lineal ( x − k ) para algún k ∈ , por lo que k debe ser una raíz de p ( x ) ; pero también k debe dividir 2 (por el teorema de la raíz racional ); es decir, k = 1, 2, −1 o −2 , y ninguna de ellas es raíz de p ( x ) . Según el lema de Gauss , p ( x ) también es irreducible sobre y, por tanto, es un polinomio mínimo sobre para . Por lo tanto , la extensión del campo es de grado 3. Pero esta no es una potencia de 2, por lo que, según lo anterior, no es la coordenada de un punto construible y, por lo tanto, no se puede construir un segmento de línea y el cubo no se puede duplicar. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Historia

El problema debe su nombre a una historia sobre los ciudadanos de Delos , que consultaron el oráculo de Delfos para saber cómo derrotar una plaga enviada por Apolo . ^{[4] [1] : 9} Según Plutarco , ^[5] sin embargo, los ciudadanos de Delos consultaron el oráculo de Delfos para encontrar una solución a sus problemas políticos internos en ese momento, que habían intensificado las relaciones entre los ciudadanos. El oráculo respondió que debían duplicar el tamaño del altar a Apolo, que era un cubo regular. La respuesta les pareció extraña a los delianos, y consultaron a Platón , quien supo interpretar el oráculo como el problema matemático de duplicar el volumen de un cubo dado, explicando así el oráculo como el consejo de Apolo para que los ciudadanos de Delos se ocuparan con el estudio de la geometría y las matemáticas para calmar sus pasiones. ^[6]

Según Plutarco , Platón entregó el problema a Eudoxo , Arquitas y Menecmo , quienes lo resolvieron utilizando medios mecánicos, ganándose una reprimenda de Platón por no resolver el problema utilizando geometría pura . ^[7] Esta puede ser la razón por la que el autor del pseudoplatónico Sísifo (388e) se refiere al problema como aún sin resolver en el año 350 a.C. ^[8] Sin embargo, otra versión de la historia (atribuida a Eratóstenes por Eutocio de Ascalón ) dice que los tres encontraron soluciones, pero eran demasiado abstractas para tener valor práctico. ^[9]

Un avance significativo en la búsqueda de una solución al problema fue el descubrimiento por parte de Hipócrates de Quíos de que equivale a encontrar dos medias proporcionales entre un segmento de recta y otro con el doble de longitud. ^[10] En notación moderna, esto significa que dados segmentos de longitudes a y 2 a , la duplicación del cubo es equivalente a encontrar segmentos de longitudes r y s de modo que

${\displaystyle {\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}.}$

A su vez, esto significa que

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}.}$

Pero Pierre Wantzel demostró en 1837 que la raíz cúbica de 2 no es construible ; es decir, no se puede construir con regla y compás . ^[11]

Soluciones por medios distintos al compás y la regla

La solución original de Menecmo implica la intersección de dos curvas cónicas . Otros métodos más complicados de duplicar el cubo implican la neusis , la cisoide de Diocles , la concoide de Nicomedes o la línea Filón . Pandrosion , una matemática probablemente de la antigua Grecia, encontró una solución aproximada numéricamente precisa utilizando planos en tres dimensiones, pero Pappus de Alejandría la criticó duramente por no proporcionar una prueba matemática adecuada . ^[12] Arquitas resolvió el problema en el siglo IV a. C. utilizando la construcción geométrica en tres dimensiones, determinando un punto determinado como la intersección de tres superficies de revolución.

La teoría de Descartes de solución geométrica de ecuaciones utiliza una parábola para introducir ecuaciones cúbicas, de esta manera es posible plantear una ecuación cuya solución sea una raíz cúbica de dos. Tenga en cuenta que la parábola en sí no se puede construir excepto mediante métodos tridimensionales.

En la literatura matemática excéntrica ( pseudomatemáticas ) abundan las afirmaciones falsas sobre la duplicación del cubo con un compás y una regla .

El origami también se puede utilizar para construir la raíz cúbica de dos doblando papel .

Usando una regla marcada

Hay una construcción de neusis simple usando una regla marcada para una longitud que es la raíz cúbica de 2 veces otra longitud. ^[13]

1. Marque una regla con la longitud dada; eventualmente será GH.
2. Construye un triángulo equilátero ABC con la longitud dada como lado.
3. Extiende AB una cantidad igual nuevamente hasta D.
4. Prolonga la línea BC formando la línea CE.
5. Prolongar la línea DC formando la línea CF.
6. Coloque la regla marcada de modo que pase por A y un extremo, G, de la longitud marcada caiga sobre el rayo CF y el otro extremo de la longitud marcada, H, caiga sobre el rayo CE. Por tanto, GH es la longitud dada.

Entonces AG es la longitud dada por los tiempos . ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

En teoría musical

En teoría musical , un análogo natural de la duplicación es la octava (un intervalo musical causado por duplicar la frecuencia de un tono), y un análogo natural de un cubo es dividir la octava en tres partes, cada una del mismo intervalo . En este sentido, el problema de duplicar el cubo lo resuelve la tercera mayor en igual temperamento . Este es un intervalo musical que es exactamente un tercio de octava. Multiplica la frecuencia de un tono por , la longitud del lado del cubo de Delos. ^[14] ${\displaystyle 2^{4/12}=2^{1/3}={\sqrt[{3}]{2}}}$

Notas explicatorias

1. El problema de Delos aparece en La República de Platón ( c.  380 a. C. ) VII.530
2. La República de Platón , Libro VII, afirma que "si una ciudad entera considerara honorables estas cosas y tomara un liderazgo y supervisión unidos, obedecería, y la solución buscada constante y seriamente se volvería clara".

Referencias

1. Kern, Willis F.; Suave, James R. (1934). Medición Sólida Con Pruebas . Nueva York: John Wiley & Sons.
2. Guilbeau, Lucye (1930). "La Historia de la Solución de la Ecuación Cúbica". Boletín informativo de Matemáticas . 5 (4): 8–12. doi :10.2307/3027812. JSTOR  3027812.
3. Stewart, Ian. Teoría de Galois . pag. 75.
4. L. Zhmud El origen de la historia de la ciencia en la antigüedad clásica, p.84, citando a Plutarco y Teón de Esmirna.
5. Plutarco , De E apud Delphos 386.E.4
6. Plutarco , De genio Socratis 579.B
7. (Plut., Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef)
8. Carl Werner Müller, Die Kurzdialoge der Apéndice Platonica , Munich: Wilhelm Fink, 1975, págs.
9. Knorr, Wilbur Richard (1986), La antigua tradición de los problemas geométricos , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 4, ISBN 9780486675329.
10. TL Heath Una historia de las matemáticas griegas , vol. 1
11. Lützen, Jesper (24 de enero de 2010). "El álgebra de la imposibilidad geométrica: Descartes y Montucla sobre la imposibilidad de la duplicación del cubo y la trisección del ángulo". Centauro . 52 (1): 4–37. doi :10.1111/j.1600-0498.2009.00160.x.
12. Knorr, Wilbur Richard (1989). "Textos de Pappus sobre la duplicación de cubos". Estudios Textuales en Geometría Antigua y Medieval . Boston: Birkhäuser. págs. 63–76. doi :10.1007/978-1-4612-3690-0_5. ISBN 9780817633875.
13. Dörrie, Heinrich (1965). 100 grandes problemas de matemáticas elementales . Dover. pag. 171.ISBN​ 0486-61348-8.
14. Phillips, RC (octubre de 1905), "La escala de temperamento igualitario", Musical Opinion and Music Trade Review , 29 (337): 41–42, ProQuest  7191936

enlaces externos

• Frédéric Beatrix, Peter Katzlinger: Una solución bastante precisa al problema de Delos . En: Parabola Volumen 59 (2023) Número 1, revista en línea (ISSN 1446-9723) publicada por la Facultad de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Nueva Gales del Sur
• Duplicando el cubo, construcción de proximidad como animación (lado = 1.259921049894873) —Wikimedia Commons
• "Duplicación del cubo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Duplicando el cubo. JJ O'Connor y EF Robertson en el archivo MacTutor History of Mathematics.
• Duplicar un cubo: la solución de Archytas. Extracto de Una historia de las matemáticas griegas de Sir Thomas Heath .
• Problema de Delian resuelto. ¿O es eso? en cortar el nudo .
• Vídeo de Mathologer: "2000 años sin resolver: ¿Por qué es imposible duplicar cubos y cuadrar círculos?"