Número construible

Número construible con compás y regla.

La raíz cuadrada de 2 es igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 y, por lo tanto, es un número construible

En geometría y álgebra , un número real es construible si y sólo si, dado un segmento de línea de longitud unitaria, se puede construir un segmento de línea de longitud con compás y regla en un número finito de pasos. De manera equivalente, es construible si y solo si hay una expresión de forma cerrada para usar solo números enteros y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle |r|}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

La definición geométrica de números construibles motiva una definición correspondiente de puntos construibles , que nuevamente pueden describirse geométrica o algebraicamente. Un punto es construible si se puede producir como uno de los puntos de una construcción de compás y regla (un punto final de un segmento de línea o punto de cruce de dos líneas o círculos), comenzando desde un segmento de longitud unitaria determinado. De manera alternativa y equivalente, tomando los dos puntos finales del segmento dado como los puntos (0, 0) y (1, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas , un punto es construible si y sólo si sus coordenadas cartesianas son números construibles. ^[1] Los números y puntos construibles también se han denominado números de regla y compás y puntos de regla y compás , para distinguirlos de los números y puntos que pueden construirse mediante otros procesos. ^[2]

El conjunto de números construibles forma un campo : aplicar cualquiera de las cuatro operaciones aritméticas básicas a miembros de este conjunto produce otro número construible. Este campo es una extensión de campo de los números racionales y a su vez está contenido en el campo de los números algebraicos . ^[3] Es la clausura euclidiana de los números racionales , la extensión de campo más pequeña de los racionales que incluye las raíces cuadradas de todos sus números positivos. ^[4]

La prueba de la equivalencia entre las definiciones algebraicas y geométricas de números construibles tiene el efecto de transformar en álgebra las cuestiones geométricas sobre construcciones con compás y regla , incluidos varios problemas famosos de las matemáticas griegas antiguas. La formulación algebraica de estas preguntas condujo a pruebas de que sus soluciones no son construibles, después de que la formulación geométrica de los mismos problemas desafiara previamente siglos de ataques.

Definiciones geométricas

Puntos geométricamente construibles

Sean y dos puntos distintos dados en el plano euclidiano , y definamos como el conjunto de puntos que se pueden construir con compás y regla comenzando con y . Entonces los puntos de se llaman puntos construibles . y son, por definición, elementos de . Para describir con mayor precisión los elementos restantes de , haga las dos definiciones siguientes: ^[5] ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• un segmento de línea cuyos puntos finales están en se llama segmento construido , y ${\displaystyle S}$
• un círculo cuyo centro está en y que pasa por un punto de (alternativamente, cuyo radio es la distancia entre un par de puntos distintos de ) se llama círculo construido . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Entonces, los puntos de , además de y son: ^{[5] [6]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$

• la intersección de dos segmentos construidos no paralelos, o líneas que pasan por segmentos construidos,
• los puntos de intersección de un círculo construido y un segmento construido, o la línea que pasa por un segmento construido, o
• los puntos de intersección de dos círculos construidos distintos.

Por ejemplo, el punto medio de un segmento construido es un punto construible. Una construcción para ello es construir dos círculos con un radio igual y la línea que pasa por los dos puntos de cruce de estos dos círculos. Entonces el punto medio del segmento es el punto donde este segmento es cruzado por la línea construida. ^[7] ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle OA}$

Números geométricamente construibles

La información inicial para la formulación geométrica se puede utilizar para definir un sistema de coordenadas cartesiano en el que el punto está asociado al origen que tiene coordenadas y en el que el punto está asociado a las coordenadas . Los puntos de ahora se pueden usar para vincular la geometría y el álgebra definiendo un número construible como una coordenada de un punto construible. ^[8] ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle S}$

Las definiciones equivalentes son que un número construible es la coordenada de un punto construible ^[6] o la longitud de un segmento de línea construible. ^[9] En una dirección de esta equivalencia, si un punto construible tiene coordenadas , entonces el punto se puede construir como su proyección perpendicular al eje -, y el segmento desde el origen hasta este punto tiene longitud . En la dirección inversa, si es la longitud de un segmento de línea construible, entonces la intersección del eje con un círculo centrado en con radio da el punto . De esta equivalencia se deduce que todo punto cuyas coordenadas cartesianas sean números geométricamente construibles es en sí mismo un punto geométricamente construible. Porque, cuando y son números geométricamente construibles, el punto se puede construir como la intersección de líneas que pasan por y , perpendiculares a los ejes de coordenadas. ^[10] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle (0,y)}$

Definiciones algebraicas

Números algebraicamente construibles

Los números reales construibles algebraicamente son el subconjunto de los números reales que pueden describirse mediante fórmulas que combinan números enteros utilizando las operaciones de suma, resta, multiplicación, inverso multiplicativo y raíces cuadradas de números positivos. Aún más simple, a costa de hacer estas fórmulas más largas, los números enteros en estas fórmulas se pueden restringir a ser solo 0 y 1. ^[11] Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es construible, porque puede describirse mediante las fórmulas o . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+1}}}$

De manera análoga, los números complejos construibles algebraicamente son el subconjunto de números complejos que tienen fórmulas del mismo tipo, utilizando una versión más general de la raíz cuadrada que no se limita a números positivos sino que puede tomar números complejos arbitrarios como argumento y produce la raíz cuadrada principal de su argumento. Alternativamente, el mismo sistema de números complejos puede definirse como números complejos cuyas partes real e imaginaria son números reales construibles. ^[12] Por ejemplo, el número complejo tiene las fórmulas o , y sus partes real e imaginaria son los números construibles 0 y 1 respectivamente. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0-1}}}$

Estas dos definiciones de números complejos construibles son equivalentes. ^[13] En una dirección, si es un número complejo cuya parte real y parte imaginaria son números reales construibles, entonces reemplazando y por sus fórmulas dentro de la fórmula más grande se produce una fórmula para un número complejo. En la otra dirección, cualquier fórmula para un número complejo algebraicamente construible se puede transformar en fórmulas para sus partes real e imaginaria, expandiendo recursivamente cada operación de la fórmula en operaciones sobre las partes real e imaginaria de sus argumentos, usando las expansiones [ ^{14 ]} ${\displaystyle q=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x+y{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle (a+ib)\pm (c+id)=(a\pm c)+i(b\pm d)}$
• ${\displaystyle (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{a+ib}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt {a+ib}}={\frac {(a+r){\sqrt {r}}}{s}}+i{\frac {b{\sqrt {r}}}{s}}}$, dónde y . ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}{}_{\!}}}}$ ${\displaystyle s={\sqrt {(a+r)^{2}+b^{2}}}}$

Puntos algebraicamente construibles

Los puntos algebraicamente construibles pueden definirse como los puntos cuyas dos coordenadas cartesianas reales son números reales algebraicamente construibles. Alternativamente, pueden definirse como los puntos en el plano complejo dados por números complejos construibles algebraicamente. Por la equivalencia entre las dos definiciones de números complejos algebraicamente construibles, estas dos definiciones de puntos algebraicamente construibles también son equivalentes. ^[13]

Equivalencia de definiciones algebraicas y geométricas.

Si y son longitudes distintas de cero de segmentos construidos geométricamente, entonces se pueden utilizar construcciones elementales con compás y regla para obtener segmentos construidos de longitudes , , y . Los dos últimos se pueden hacer con una construcción basada en el teorema de la intersección . Una construcción ligeramente menos elemental que utiliza estas herramientas se basa en el teorema de la media geométrica y construirá un segmento de longitud a partir de un segmento de longitud construido . De ello se deduce que todo número algebraicamente construible es geométricamente construible, utilizando estas técnicas para traducir una fórmula para el número en una construcción para el número. ^[15] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle |a-b|}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle a}$

Construcciones con compás y regla para números construibles

En la otra dirección, un conjunto de objetos geométricos puede especificarse mediante números reales construibles algebraicamente: coordenadas para puntos, pendiente e intersección para líneas, y centro y radio para círculos. Es posible (pero tedioso) desarrollar fórmulas en términos de estos valores, usando sólo aritmética y raíces cuadradas, para cada objeto adicional que pueda agregarse en un solo paso de una construcción con compás y regla. De estas fórmulas se deduce que todo número geométricamente construible es algebraicamente construible. ^[dieciséis] ${\displaystyle y}$

Propiedades algebraicas

La definición de números algebraicamente construibles incluye la suma, la diferencia, el producto y el inverso multiplicativo de cualquiera de estos números, las mismas operaciones que definen un campo en álgebra abstracta . Por tanto, los números construibles (definidos de cualquiera de las formas anteriores) forman un campo. Más concretamente, los números reales construibles forman un campo euclidiano , un campo ordenado que contiene una raíz cuadrada de cada uno de sus elementos positivos. ^[17] Examinar las propiedades de este campo y sus subcampos conduce a las condiciones necesarias para que un número sea construible, que pueden usarse para mostrar que números específicos que surgen en problemas de construcción geométrica clásica no son construibles.

Es conveniente considerar, en lugar del cuerpo completo de números construibles, el subcampo generado por cualquier número construible dado , y utilizar la construcción algebraica de para descomponer este campo. Si es un número real construible, entonces los valores que ocurren dentro de una fórmula que lo construye se pueden usar para producir una secuencia finita de números reales tal que, para cada uno , sea una extensión de de grado 2. ^[18] Usando terminología ligeramente diferente, a un número real es construible si y sólo si se encuentra en un campo en la cima de una torre finita de extensiones cuadráticas reales , ${\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,a_{n}=\gamma }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i-1})}$

$${\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{n},}$$

^[19]grado de extensión del campo^[20] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle 0<j\leq n}$ ${\displaystyle [K_{j}:K_{j-1}]=2}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle 2^{r}}$ ${\displaystyle r}$

De manera análoga al caso real, un número complejo es construible si y sólo si se encuentra en un campo en la cima de una torre finita de extensiones cuadráticas complejas. ^[21] Más precisamente, es construible si y sólo si existe una torre de campos ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n},}$$

^[22] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle 0<j\leq n}$ ${\displaystyle [F_{j}:F_{j-1}]=2}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$

Los campos que se pueden generar de esta manera a partir de torres de extensiones cuadráticas de se denominan extensiones cuadráticas iteradas de . Los campos de números construibles reales y complejos son las uniones de todas las extensiones cuadráticas iteradas reales o complejas de . ^[23] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Números trigonométricos

Los números trigonométricos son los cosenos o senos de ángulos que son múltiplos racionales de . Estos números son siempre algebraicos, pero es posible que no sean construibles. El coseno o seno del ángulo sólo se puede construir para ciertos números especiales : ^[24] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi /n}$ ${\displaystyle n}$

• Los poderes de dos
• Los primos de Fermat , números primos que son uno más una potencia de dos
• Los productos de potencias de dos y cualquier número de primos de Fermat distintos.

Así, por ejemplo, es construible porque 15 es el producto de los primos de Fermat 3 y 5; pero no es construible (no es producto de distintos primos de Fermat) y tampoco lo es (siendo un primo que no es de Fermat). ${\displaystyle \cos(\pi /15)}$ ${\displaystyle \cos(\pi /9)}$ ${\displaystyle \cos(\pi /7)}$

Construcciones imposibles

Los antiguos griegos pensaban que ciertos problemas de construcción con regla y compás que no podían resolver eran simplemente obstinados, no irresolubles. ^[25] Sin embargo, la no constructibilidad de ciertos números demuestra que estas construcciones son lógicamente imposibles de realizar. ^[26] (Los problemas en sí, sin embargo, se pueden resolver usando métodos que van más allá de la restricción de trabajar sólo con regla y compás, y los griegos sabían cómo resolverlos de esta manera. Un ejemplo de ello es la solución de construcción de Neusis de Arquímedes para el problema de trisección de ángulos .) ^[27]

En particular, la formulación algebraica de números construibles conduce a una prueba de la imposibilidad de los siguientes problemas de construcción:

Duplicar el cubo

El problema de duplicar el cuadrado unitario se resuelve construyendo otro cuadrado en la diagonal del primero, de longitud de lado y área . De manera análoga, el problema de duplicar el cubo requiere la construcción de la longitud del lado de un cubo con volumen . No es construible, porque el polinomio mínimo de esta longitud, tiene grado 3 sobre . ^[28] Como polinomio cúbico cuya única raíz real es irracional, este polinomio debe ser irreducible, porque si tuviera una raíz real cuadrática entonces el conjugado cuadrático proporcionaría una segunda raíz real. ^[29] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Trisección de ángulos

En este problema, desde un ángulo dado , se debe construir un ángulo . Algebraicamente, los ángulos se pueden representar mediante sus funciones trigonométricas , como sus senos o cosenos , que dan las coordenadas cartesianas del punto final de un segmento de recta que forma el ángulo dado con el segmento inicial. Por lo tanto, un ángulo es construible cuando es un número construible, y el problema de trisecar el ángulo se puede formular como uno de construcción . Por ejemplo, el ángulo de un triángulo equilátero se puede construir con compás y regla, con . Sin embargo, su trisección no se puede construir porque tiene un polinomio mínimo de grado 3 sobre . Debido a que este caso específico del problema de la trisección no se puede resolver con compás y regla, el problema general tampoco se puede resolver. ^[30] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta /3}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x=\cos \theta }$ ${\displaystyle \cos({\tfrac {1}{3}}\arccos x)}$ ${\displaystyle \theta =\pi /3=60^{\circ }}$ ${\displaystyle x=\cos \theta ={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \theta /3=\pi /9=20^{\circ }}$ ${\displaystyle \cos \pi /9}$ ${\displaystyle 8x^{3}-6x-1}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

La cuadratura del circulo

Un cuadrado con área , la misma área que un círculo unitario , tendría una longitud de lado , un número trascendental . Por lo tanto, este cuadrado y la longitud de su lado no son construibles, porque no es algebraico sobre . ^[31] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

polígonos regulares

Si se construye un -gón regular con su centro en el origen, los ángulos entre los segmentos desde el centro hasta los vértices consecutivos son . Un polígono se puede construir sólo cuando el coseno de este ángulo es un número trigonométrico. Así, por ejemplo, un góno de 15 es construible, pero el heptágono regular no es construible, porque 7 es primo pero no primo de Fermat. ^[32] Para una prueba más directa de su no constructibilidad, represente los vértices de un heptágono regular como las raíces complejas del polinomio . Quitando el factor , dividiendo por y sustituyendo se obtiene el polinomio más simple , un cúbico irreducible con tres raíces reales, cada una de las cuales es dos veces la parte real de un vértice de un número complejo. Sus raíces no son construibles, por lo que el heptágono tampoco es construible. ^[33] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\pi /n}$ ${\displaystyle x^{7}-1}$ ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle y=x+1/x}$ ${\displaystyle y^{3}+y^{2}-2y-1}$

El problema de Alhazén

Si se dan dos puntos y un espejo circular, ¿en qué parte del círculo uno de los puntos dados ve la imagen reflejada del otro? Geométricamente, las líneas desde cada punto dado hasta el punto de reflexión se encuentran con el círculo en ángulos iguales y en cuerdas de igual longitud. Sin embargo, es imposible construir un punto de reflexión usando un compás y una regla. En particular, para un círculo unitario con los dos puntos y dentro de él, la solución tiene coordenadas que forman raíces de un polinomio de grado cuatro irreducible . Aunque su grado es una potencia de dos, el campo de división de este polinomio tiene un grado divisible por tres, por lo que no proviene de una extensión cuadrática iterada y el problema de Alhazen no tiene solución con compás y regla. ^[34] ${\displaystyle ({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})}$ ${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1}$

Historia

El nacimiento del concepto de números construibles está indisolublemente ligado a la historia de las tres construcciones imposibles con compás y regla: duplicar el cubo, trisecar un ángulo y cuadrar el círculo. La restricción de utilizar únicamente compás y regla en construcciones geométricas a menudo se atribuye a Platón debido a un pasaje de Plutarco . Según Plutarco, Platón dio la duplicación del problema del cubo (Delos) a Eudoxo , Arquitas y Menecmo , quienes resolvieron el problema utilizando medios mecánicos, ganándose una reprimenda de Platón por no resolver el problema utilizando geometría pura . ^[35] Sin embargo, esta atribución es cuestionada, ^[36] debido, en parte, a la existencia de otra versión de la historia (atribuida a Eratóstenes por Eutocio de Ascalón ) que dice que los tres encontraron soluciones pero eran demasiado abstractas para ser de valor práctico. ^[37] Proclo , citando a Eudemo de Rodas , atribuyó a Enópides (alrededor de 450 a. C.) dos construcciones de regla y compás, lo que llevó a algunos autores a plantear la hipótesis de que Enópides originó la restricción. ^[38] La restricción a compás y regla es esencial ante la imposibilidad de los problemas de construcción clásicos. La trisección de ángulos, por ejemplo, se puede realizar de muchas maneras, varias de las cuales eran conocidas por los antiguos griegos. Se han utilizado la cuadratriz de Hipias de Elis , las cónicas de Menecmo o la construcción con regla marcada ( neusis ) de Arquímedes , al igual que un enfoque más moderno mediante el plegado de papel . ^[39]

Aunque no es uno de los tres problemas de construcción clásicos, el problema de construir polígonos regulares con regla y compás a menudo se trata junto con ellos. Los griegos sabían cómo construir -gons regulares con (para cualquier número entero ), 3, 5 o el producto de dos o tres de estos números, pero otros -gons regulares los eludían. En 1796, Carl Friedrich Gauss , entonces un estudiante de dieciocho años, anunció en un periódico que había construido un 17-gon regular con regla y compás. ^[40] El tratamiento de Gauss fue más algebraico que geométrico; de hecho, en realidad no construyó el polígono, sino que demostró que el coseno de un ángulo central era un número construible. El argumento fue generalizado en su libro de 1801 Disquisitiones Arithmeticae dando la condición suficiente para la construcción de un -gón regular. Gauss afirmó, pero no demostró, que la condición también era necesaria y varios autores, en particular Felix Klein , ^[41] le atribuyeron también esta parte de la prueba. ^[42] El problema de Alhazen tampoco es uno de los tres problemas clásicos, pero a pesar de llevar el nombre de Ibn al-Haytham (Alhazen), un matemático islámico medieval , ya aparece en el trabajo de Ptolomeo sobre óptica del siglo II. ^[20] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2^{h}}$ ${\displaystyle h\geq 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Pierre Wantzel  (1837) demostró algebraicamente que los problemas de duplicar el cubo y trisecar el ángulo son imposibles de resolver si se utiliza sólo un compás y una regla. En el mismo artículo también resolvió el problema de determinar qué polígonos regulares son construibles: un polígono regular es construible si y sólo si el número de sus lados es el producto de una potencia de dos y cualquier número de primos distintos de Fermat (es decir, el también son necesarias las condiciones suficientes dadas por Gauss). ^{[24] [43]} James Gregory presentó un intento de prueba de la imposibilidad de cuadrar el círculo en Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (La verdadera cuadratura del círculo y de la hipérbola) en 1667. Aunque su prueba fue defectuosa, fue el primer artículo que intenta resolver el problema utilizando propiedades algebraicas de π . No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann demostró rigurosamente su imposibilidad, ampliando el trabajo de Charles Hermite y demostrando que π es un número trascendental . ^{[44] [45]} No se demostró que el problema de Alhazen fuera imposible de resolver con compás y regla hasta el trabajo de Elkin (1965). ^[46]

El estudio de los números construibles, per se, fue iniciado por René Descartes en La Géométrie , un apéndice de su libro Discurso sobre el método publicado en 1637. Descartes asoció números a segmentos de recta geométricos para mostrar el poder de su método filosófico resolviendo un antiguo problema de construcción con regla y compás propuesto por Pappus . ^[47]

Ver también

• Número computable
• Número real definible

Notas

1. Kazarinoff (2003, págs. 10 y 15); Martín (1998), Corolario 2.16, pág. 41.
2. Martín (1998), págs. 31–32.
3. Courant & Robbins (1996), Sección III.2.2, "Todos los números construibles son algebraicos", págs.
4. Kazarinoff (2003), pág. 46.
5. Kazarinoff (2003), pág. 10.
6. Martin (1998), Definición 2.1, págs.
7. Esta construcción para el punto medio se da en el Libro I, Proposición 10 de los Elementos de Euclides .
8. Kazarinoff (2003), pág. 18.
9. Herstein (1986, pág. 237). Para utilizar la definición basada en la longitud, es necesario incluir el número cero como número construible, como caso especial.
10. Moise (1974), pág. 227; Martín (1998), Teorema 2.4, pág. 33.
11. Martín (1998), págs. 36-37.
12. Romano (1995), pág. 207.
13. Lawrence y Zorzitto (2021), p. 440.
14. Para conocer la fórmula de suma y multiplicación, consulte Kay (2021), Teorema 8.1.10, p. 187. Para conocer la fórmula de división, consulte Kay (2021), Ecuaciones 8.8, p. 188 y 9.2, pág. 224. El desarrollo de la raíz cuadrada se puede derivar de la fórmula trigonométrica del medio ángulo ; consulte una fórmula equivalente en Lawrence & Zorzitto (2021), p. 440.
15. Herstein (1986, págs. 236-237); Moise (1974, p. 224); Fraleigh (1994, págs. 426–427); Courant & Robbins (1996, Sección III.1.1, "Construcción de campos y extracción de raíces cuadradas", págs. 120-122).
16. Martín (1998, págs. 38-39); Courant y Robbins (1996, págs. 131-132).
17. Martín (1998), Teorema 2.7, pág. 35.
18. Fraleigh (1994), pág. 429.
19. Romano (1995), pág. 59.
20. Neumann (1998).
21. Rotman (2006), pág. 361.
22. Rotman (2006), pág. 362.
23. Martín (1998), Teorema 2.10, pág. 37.
24. Martín (1998), pág. 46.
25. Stewart (1989), pág. 51.
26. Klein (1897), pág. 3.
27. La descripción de estas soluciones alternativas constituye gran parte del contenido de Knorr (1986).
28. Klein (1897, pág. 13); Fraleigh (1994, págs. 429–430)
29. Courant & Robbins (1996), Sección III.3.1, "Duplicar el cubo", págs. 134-135.
30. Fraleigh (1994, págs. 429–430); Courant & Robbins (1996, Sección III.3.3, "Trisección del ángulo", págs. 137-138)
31. Fraleigh (1994), págs. 429–430.
32. Fraleigh (1994), pág. 504.
33. Courant & Robbins (1996), Sección III.3.4 "El heptágono regular", págs.
34. Neumann (1998). Elkin (1965) llega a la misma conclusión utilizando puntos diferentes y un polinomio diferente.
35. Plutarco, Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef.
36. Kazarinoff (2003), pág. 28.
37. Knorr (1986), pág. 4.
38. Knorr (1986), págs. 15-17.
39. Friedman (2018), págs. 1-3.
40. Kazarinoff (2003), pág. 29.
41. Klein (1897), pág. dieciséis.
42. Kazarinoff (2003), pág. 30.
43. Wantzel (1837).
44. Martín (1998), pág. 44.
45. Klein (1897), Capítulo IV: La trascendencia del número π , págs. 68-77.
46. Elkin (1965); Véase también Neumann (1998) para una solución independiente con más información sobre la historia del problema.
47. Boyer (2004), págs. 83–88.

Referencias

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• Stewart, Ian (1989), Teoría de Galois (2ª ed.), Chapman y Hall, ISBN 978-0-412-34550-0, señor  1036521
• Wantzel, PL (1837), "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1 (2): 366–372

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Número construible", MathWorld
• Números construibles en Cut-the-knot