Construcciones geométricas es un libro de texto de matemáticas sobre números construibles y, de manera más general, sobre el uso del álgebra abstracta para modelar los conjuntos de puntos que se pueden crear mediante ciertos tipos de construcción geométrica y sobre el uso de la teoría de Galois para demostrar los límites de las construcciones que se pueden realizar. Fue escrito por George E. Martin y publicado por Springer-Verlag en 1998 como volumen 81 de su serie de libros Undergraduate Texts in Mathematics .
Construcciones geométricas tiene diez capítulos. [1] Los dos primeros tratan las construcciones con regla y compás , incluidas muchas de las construcciones de los Elementos de Euclides , y su modelo algebraico, los números construibles . También incluyen resultados de imposibilidad para los problemas griegos clásicos de construcción con regla y compás: la imposibilidad de duplicar el cubo y trisecar el ángulo se prueban algebraicamente, mientras que la imposibilidad de cuadrar el círculo y construir algunos polígonos regulares se menciona pero no se prueba. [1] [2]
Los siguientes cuatro capítulos estudian lo que sucede cuando se restringe el uso del compás o la regla: según el teorema de Mohr-Mascheroni, no hay pérdida de constructibilidad si se utiliza solo un compás, pero una regla sin compás tiene significativamente menos potencia, a menos que se proporcione un círculo auxiliar ( teorema de Poncelet-Steiner ). Estos capítulos también discuten la restricción de los compases a los divisores, herramientas que pueden transferir segmentos de línea a segmentos iguales de otras líneas pero que no se pueden usar para encontrar intersecciones de círculos con otras curvas, o a los compases oxidados, compases que no pueden cambiar el radio, y usan divisores para construir los círculos de Malfatti . [1] [2]
Los tres capítulos finales van más allá de la regla y el compás y abordan otras herramientas de construcción. Una forma de construcción muy restringida, la "geometría de cerillas" de Thomas Rayner Dawson de la década de 1930, utiliza sólo segmentos de línea unitarios, que pueden colocarse uno junto al otro, intersecarse o girarse alrededor de uno de sus puntos finales; a pesar de su naturaleza limitada, resulta ser tan poderosa como la regla y el compás. El capítulo 9 considera las construcciones de neusis con una regla marcada, y el capítulo final investiga las matemáticas del plegado de papel ; la regla marcada y los modelos de plegado de papel son equivalentes algebraicamente, y ambos permiten construcciones para la trisección de ángulos. [1] [2]
Además de las matemáticas que describe, Construcciones geométricas incluye muchos antecedentes históricos, [2] citas y sugerencias a material de origen para lectura adicional, [3] y soluciones y sugerencias para sus numerosos ejercicios. [4]
Martin originalmente tenía la intención de que su libro fuera un libro de texto de nivel de posgrado para estudiantes que planeaban convertirse en profesores de matemáticas. [2] Sin embargo, además de este uso, también puede ser leído por cualquier persona que esté interesada en la historia de la geometría y tenga una formación de nivel universitario en álgebra abstracta, o puede usarse como un trabajo de referencia sobre el tema de las construcciones geométricas. [4]
El crítico Horst Martini escribe que "transmite alegría por el tema", [1] mientras que Maurice Burke describe el libro como uno que "invita al lector a jugar el juego, a hacer frecuentes desvíos, muchos de ellos inesperados, y a disfrutar del viaje". [4]