Johann Carl Friedrich Gauss (alemán: Gauß [kaʁl ˈfʁiːdʁɪç ˈɡaʊs] ⓘ ; [2][3] Latín:Carolus Fridericus Gauss; (30 de abril de 1777 - 23 de febrero de 1855) fue unmatemático,astrónomo,geodestayfísicoalemán que hizo importantes contribuciones en muchos campos de las matemáticas y la ciencia. Gauss se encuentra entre los matemáticos más influyentes de la historia y se le conoce como el "Príncipe de los Matemáticos". Fue director delObservatorio de Gotingay profesor de la universidad durante casi medio siglo, desde 1807 hasta su muerte en 1855.
Cuando todavía era estudiante en la Universidad de Göttingen , propuso varios teoremas matemáticos . Gauss completó sus obras maestras Disquisitiones Arithmeticae y Theoria motus corporum coelestium como erudito privado. Publicó la segunda y tercera pruebas completas del teorema fundamental del álgebra , hizo contribuciones a la teoría de números , desarrolló las teorías de las formas cuadráticas binarias y ternarias y se le atribuye la invención del algoritmo de transformada rápida de Fourier . Se le considera uno de los descubridores de la geometría no euclidiana junto con Nikolai Lobachevsky y János Bolyai y acuñó ese término.
Gauss jugó un papel decisivo en la identificación del recién descubierto Ceres como un planeta enano. Su trabajo sobre el movimiento de los planetoides perturbados por grandes planetas condujo a la introducción de la constante gravitacional de Gauss y el método de mínimos cuadrados , que descubrió antes de que Adrien-Marie Legendre publicara sobre el método.
Gauss estuvo a cargo del extenso estudio geodésico del Reino de Hannover junto con un proyecto de medición de arco de 1820 a 1844, realizó gran parte del trabajo de campo y proporcionó la evaluación científica completa. Además, fue uno de los fundadores de la geofísica al formular los principios fundamentales del magnetismo y realizó investigaciones prácticas básicas en este campo. Frutos de su trabajo práctico fueron los inventos del heliotropo en 1821, un magnetómetro en 1833 y, junto con Wilhelm Eduard Weber , el primer telégrafo electromagnético en 1833.
Gauss fue un autor cuidadoso y se negó a publicar trabajos incompletos. Aunque publicó extensamente durante su vida, dejó varias obras que se publicaron póstumamente . Creía que el acto de aprender, no la posesión de conocimientos, proporcionaba el mayor disfrute. Se sabía que a Gauss no le gustaba enseñar, pero algunos de sus estudiantes se convirtieron en matemáticos influyentes.
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Johann Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick (Braunschweig) , en el ducado de Brunswick-Wolfenbüttel (hoy parte de Baja Sajonia , Alemania), en el seno de una familia de estatus social inferior. [4] Su padre Gebhard Dietrich Gauss (1744-1808) trabajó en varios trabajos, como carnicero, albañil, jardinero y como tesorero de un fondo de prestaciones por fallecimiento. Gauss caracterizó a su padre como un hombre honorable y respetado, pero rudo y dominante en casa. Tenía experiencia en escritura y cálculo, mientras que su esposa Dorothea (1743-1839), la madre de Carl Friedrich, era casi analfabeta. Carl Friedrich fue bautizado y confirmado en una iglesia [a] cerca de la escuela a la que asistía cuando era niño. [5] Tenía un hermano mayor del primer matrimonio de su padre. [6]
Gauss fue un niño prodigio en el campo de las matemáticas. Cuando los maestros de primaria notaron sus habilidades intelectuales, llamaron la atención del duque de Brunswick , quien lo envió al Collegium Carolinum local , [b] al que asistió de 1792 a 1795 con Eberhard August Wilhelm von Zimmermann como uno de sus profesores. A partir de entonces, el duque le concedió recursos para estudios de matemáticas, ciencias y lenguas clásicas en la Universidad Hannoveriana de Göttingen hasta 1798. [7] No se sabe por qué Gauss fue a Göttingen y no a la Universidad de Helmstedt, cerca de su Brunswick natal; Se supone que la razón decisiva fue la gran biblioteca de Gotinga, donde los estudiantes podían tomar prestados libros y llevárselos a casa. [8] Uno de sus profesores de matemáticas fue Abraham Gotthelf Kästner , a quien Gauss llamó "el principal matemático entre los poetas y el principal poeta entre los matemáticos" debido a sus epigramas . [9] Gauss lo representó en un dibujo que muestra una escena de conferencia donde cometió errores en un cálculo simple. La astronomía fue enseñada por Karl Felix von Seyffer (1762-1822), con quien Gauss mantuvo correspondencia después de graduarse; [10] Olbers y Gauss se burlaron de él en su correspondencia. Por otro lado, tenía en gran estima a Georg Christoph Lichtenberg , su profesor de física, y a Christian Gottlob Heyne , a cuyas conferencias sobre clásicos Gauss asistía con mucho gusto. [10] Los compañeros de estudios de esta época fueron Johann Friedrich Benzenberg , Farkas Bolyai y Heinrich Wilhelm Brandes . [10]
Aunque era un estudiante matriculado en la universidad, es evidente que fue un estudiante de matemáticas autodidacta, ya que redescubrió de forma independiente varios teoremas. [11] Logró un gran avance en un problema geométrico que había ocupado a los matemáticos desde los días de los antiguos griegos cuando determinó en 1796 qué polígonos regulares se pueden construir con compás y regla . Este descubrimiento fue el tema de su primera publicación y finalmente llevó a Gauss a elegir las matemáticas en lugar de la filología como carrera. [12] El diario matemático de Gauss muestra que, en el mismo año, también fue productivo en teoría de números. Hizo descubrimientos avanzados en aritmética modular , encontró la primera prueba de la ley de reciprocidad cuadrática y se ocupó del teorema de los números primos . Muchas ideas para su obra maestra matemática Disquisitiones arithmeticae , publicada en 1801, datan de esta época. [13]
Gauss se graduó como Doctor en Filosofía en 1799. No se graduó en Göttingen, como a veces se afirma, [c] [14] sino, a petición especial del Duque de Brunswick, en la Universidad de Helmstedt, la única universidad estatal de el ducado. Allí, Johann Friedrich Pfaff evaluó su tesis doctoral y Gauss obtuvo el título in absentia sin el examen oral adicional que habitualmente se solicitaba. Luego, el duque le concedió el costo de vida como académico privado en Brunswick. Gauss mostró su gratitud y lealtad por este legado cuando rechazó varias llamadas de la Academia Rusa de Ciencias de San Petersburgo y de la Universidad Landshut . Posteriormente, el duque le prometió la fundación de un observatorio en Brunswick en 1804. El arquitecto Peter Joseph Krahe hizo los diseños preliminares, pero una de las guerras de Napoleón canceló esos planes: [15] el duque fue herido de muerte en la batalla de Jena en 1806. El ducado fue abolido al año siguiente y el apoyo financiero de Gauss cesó. Luego siguió una llamada a la Universidad de Göttingen , una institución del recién fundado Reino de Westfalia bajo Jérôme Bonaparte , como profesor titular y director del observatorio astronómico . [dieciséis]
Al estudiar el cálculo de las órbitas de los asteroides, Gauss estableció contacto con la comunidad astronómica de Bremen y Lilienthal , especialmente con Wilhelm Olbers , Karl Ludwig Harding y Friedrich Wilhelm Bessel , como parte del grupo informal de astrónomos conocido como la Policía Celestial . [17] Uno de sus objetivos era el descubrimiento de más planetas, y reunieron datos sobre asteroides y cometas como base para la investigación de Gauss. De este modo, Gauss pudo desarrollar métodos nuevos y potentes para la determinación de órbitas, que luego publicó en su obra maestra astronómica Theoria motus corporum coelestium (1809). [18]
Gauss llegó a Gotinga en noviembre de 1807 y en los años siguientes se enfrentó a la exigencia de dos mil francos del gobierno de Westfalia como contribución de guerra. Sin haber cobrado todavía su salario, no pudo reunir esta enorme cantidad. Tanto Olbers como Laplace quisieron ayudarlo con el pago, pero Gauss rechazó su ayuda. Finalmente, una persona anónima de Frankfurt , que luego se supo que era el príncipe primado Dalberg , [19] pagó la suma. [dieciséis]
Gauss asumió la dirección del observatorio de 60 años de antigüedad, fundado en 1748 por el príncipe elector Jorge II y construido sobre una torre de fortificación reconvertida, [20] con instrumentos utilizables, pero parcialmente obsoletos. [21] La construcción de un nuevo observatorio había sido aprobada en principio por el príncipe elector Jorge III desde 1802, y el gobierno de Westfalia continuó con la planificación, [22] pero Gauss no pudo trasladarse a su nuevo lugar de trabajo hasta octubre de 1816. Adquirió instrumentos nuevos y modernos, por ejemplo dos círculos de meridianos de Repsold [23] y Reichenbach [24] y un heliómetro de Fraunhofer . [25]
La actividad científica de Gauss, además de las matemáticas puras, se puede dividir a grandes rasgos en tres períodos: en las dos primeras décadas del siglo XIX se centró principalmente en la astronomía, en la tercera década la geodesia y en la cuarta década se dedicó a la física. principalmente magnetismo. [26]
Gauss permaneció mentalmente activo hasta su vejez, incluso cuando padecía gota e infelicidad generalizada. Su última observación fue el eclipse solar del 28 de julio de 1851 . [27] El 23 de febrero de 1855, Gauss murió de un ataque al corazón en Gotinga; [9] y está enterrado allí en el cementerio Albani . Heinrich Ewald , yerno de Gauss, y Wolfgang Sartorius von Waltershausen , amigo cercano y biógrafo de Gauss, pronunciaron panegíricos en su funeral. [28]
El día después de la muerte de Gauss, Rudolf Wagner extrajo, conservó y estudió su cerebro , quien descubrió que su masa estaba ligeramente por encima del promedio, 1.492 gramos (52,6 oz). [29] [30] El hijo de Wagner, Hermann, determinó en su tesis doctoral que el área cerebral era de 219.588 milímetros cuadrados (340.362 pulgadas cuadradas). [31] También se encontraron circunvoluciones muy desarrolladas, que a principios del siglo XX se sugirieron como explicación de su genio. [32] Después de varias investigaciones previas, un estudio de resonancia magnética de 1998, realizado en el Instituto Max Planck de Química Biofísica en Göttingen, no arrojó resultados que pudieran usarse para explicar sus habilidades matemáticas. [33]
En 2013, un neurobiólogo del mismo instituto descubrió que el cerebro de Gauss se había confundido, debido a un etiquetado incorrecto, con el del médico Conrad Heinrich Fuchs , que murió en Gotinga unos meses después de Gauss. [34] Una investigación adicional no mostró anomalías notables en el cerebro de ninguna de las personas. Así, todas las investigaciones sobre el cerebro de Gauss hasta 1998, excepto las primeras de Rudolf y Hermann Wagner, se refieren en realidad al cerebro de Fuchs. [35]
Gauss se casó con Johanna Osthoff (1780–1809) el 9 de octubre de 1805. [36] Tuvieron dos hijos y una hija: Joseph (1806–1873), Wilhelmina (1808–1840) y Louis (1809–1810). Johanna murió el 11 de octubre de 1809, un mes después del nacimiento de Louis, quien murió unos meses después. [37]
Gauss se volvió a casar al año, el 4 de agosto de 1810, con Wilhelmine (Minna) Waldeck (1788-1831), amiga de su primera esposa. Tuvieron tres hijos más: Eugen (más tarde Eugene) (1811–1896), Wilhelm (más tarde William) (1813–1879) y Therese Staufenau (1816–1864). Minna Gauss murió el 12 de septiembre de 1831 después de haber estado gravemente enferma durante más de una década. [38] Teresa luego se hizo cargo de la casa y cuidó de Gauss por el resto de su vida; tras la muerte de su padre se casó con el actor Constantin Staufenau. [39] Su hermana Guillermina se casó con el orientalista Heinrich Ewald . [40] La madre de Gauss, Dorothea, vivió en su casa desde 1817 hasta su muerte en 1839. [7]
El hijo mayor, Joseph, cuando todavía era un escolar, ayudó a su padre como asistente durante su campaña de reconocimiento en el verano de 1821. Después de un corto tiempo en la universidad, en 1824 Joseph se unió al ejército de Hannover y ayudó nuevamente en el reconocimiento en 1829. En la década de 1830 fue responsable de la ampliación de la red de reconocimiento a las partes occidentales del reino. Con sus calificaciones geodésicas, dejó el servicio y se dedicó a la construcción de la red ferroviaria como director de los Ferrocarriles Estatales Reales de Hannover . En 1836 estudió durante algunos meses el sistema ferroviario en Estados Unidos. [41] [d]
Eugen abandonó Göttingen en septiembre de 1830 y emigró a los Estados Unidos, donde se unió al ejército durante cinco años. Luego trabajó para la American Fur Company en el Medio Oeste, donde aprendió el idioma sioux . Posteriormente se mudó a Missouri y se convirtió en un exitoso hombre de negocios. [41] Wilhelm se casó con una sobrina del astrónomo Bessel y también se mudó a Missouri en 1837, [44] comenzando como granjero y luego haciéndose rico en el negocio del calzado en St. Louis . [45] Eugenio y Guillermo tienen numerosos descendientes en América, pero los descendientes que quedan en Alemania derivan todos de José, ya que las hijas de Gauss no tuvieron hijos. [41]
A finales del siglo XVIII, las matemáticas académicas alemanas estaban en malas condiciones: los prolíficos matemáticos de aquella época trabajaban en Francia y otros países europeos. [e] La corriente matemática principal se ocupaba principalmente de la resolución de problemas prácticos en mecánica, astronomía, geodesia, etc. [47] En este entorno científico, se puede considerar a Gauss, siguiendo a Felix Klein , como típico de los matemáticos de los siglos XVIII y XIX. Su interés por la aplicabilidad práctica, por ejemplo en geodesia y astronomía, calificó a Gauss para ser considerado un matemático aplicado típico del siglo de la Ilustración . Por otro lado, inició investigaciones en numerosas áreas de las matemáticas sin vínculos definidos con fines prácticos, mostrándose así como un pionero de lo que más tarde se llamó " matemática pura ". A diferencia de matemáticos anteriores, como Leonhard Euler —que dejaban que sus lectores participaran en su razonamiento a medida que desarrollaban nuevas ideas e incluían ciertas desviaciones erróneas del camino correcto—Gauss desarrolló un nuevo estilo de explicación directa y completa que no intentaba mostrar al lector la línea de pensamiento del autor. [48] [49]
Pero para él mismo, propagó un ideal bastante diferente, expresado en una carta a Farkas Bolyai como sigue: [51]
No es el conocimiento, sino el acto de aprender, no la posesión sino el acto de llegar allí, lo que garantiza el mayor disfrute. Cuando he aclarado y agotado un tema, me alejo de él para volver a entrar en la oscuridad.
—Dunnington 2004, pág. 416
Gauss se negó a publicar trabajos que no consideraba completos y por encima de toda crítica. Este perfeccionismo estaba en consonancia con el lema de su sello personal Pauca sed Matura ("Pocos, pero maduros"). Su diario personal indica que había hecho varios descubrimientos matemáticos años o décadas antes de que sus contemporáneos los publicaran. Expuso nuevas ideas por escrito a sus colegas, quienes lo alentaron a publicar y, en su opinión, a veces lo reprendieron si dudaba demasiado. Gauss se defendió afirmando que el descubrimiento inicial de ideas era fácil, pero preparar una elaboración publicable era para él una tarea exigente, ya sea por falta de tiempo o por "serenidad mental". [52] Sin embargo, publicó muchas comunicaciones breves de contenido urgente en varias revistas, pero sus "Obras completas" también contienen un patrimonio literario considerable. [53] [54] Eric Temple Bell dijo que si Gauss hubiera publicado todos sus descubrimientos de manera oportuna, habría avanzado las matemáticas cincuenta años. [55] Gauss se refirió a las matemáticas como "la reina de las ciencias" y a la aritmética como "la reina de las matemáticas", [56] y supuestamente una vez abrazó la creencia en la necesidad de comprender inmediatamente la identidad de Euler como un punto de referencia para convertirse en un primer- matemático de clase. [57]
En determinadas ocasiones, Gauss afirmó que un hallazgo publicado por otro estudioso ya había estado en su poder anteriormente. Así, su concepto de prioridad como "el primero en descubrir, no el primero en publicar" difería del de sus contemporáneos científicos. [58] En contraste con su perfeccionismo en la presentación de ideas matemáticas, fue criticado por su forma negligente de citar. Se justificó con una visión muy especial de las citas correctas: si dio referencias, entonces sólo de manera bastante completa, con respecto a los autores anteriores de importancia, que nadie debe ignorar; pero citar de esta manera necesitaba conocimientos de la historia de la ciencia y más tiempo del que deseaba dedicar. [52]
Aunque Gauss es visto como un maestro de la presentación axiomática, a partir de sus artículos publicados póstumamente, su diario y breves glosas en sus propios libros de texto, se hizo evidente que trabajó en gran medida de manera empírica. Gauss fue un calculador entusiasta y ocupado durante toda su vida, que hacía sus cálculos con extraordinaria rapidez, en su mayoría sin control preciso, pero verificaba los resultados mediante estimaciones magistrales. Sin embargo, sus cálculos, especialmente en geodesia y astronomía, no siempre estuvieron libres de errores. [59] Hizo frente a la enorme carga de trabajo utilizando herramientas hábiles. [60] Gauss utilizó muchas tablas matemáticas , examinó su exactitud y construyó nuevas tablas sobre diversos temas para uso personal. [61] Desarrolló nuevas herramientas para el cálculo eficaz, por ejemplo la eliminación gaussiana . Se ha considerado como un rasgo curioso de su estilo de trabajo que realizaba cálculos con un alto grado de precisión, mucho más de lo requerido. [62] Muy probablemente, este método le proporcionó una gran cantidad de material que utilizó para encontrar teoremas en la teoría de números. [60]
Sus colegas más cercanos sabían bien que a Gauss no le gustaba dar conferencias académicas. Se lo dijo a Olbers por primera vez en 1802, por lo que esta aversión no fue el resultado de una mala experiencia. Por lo tanto, se negó a aceptar cualquier puesto académico con funciones docentes durante sus años como académico privado. Pero desde el comienzo de su carrera académica en Gotinga en 1807, dio conferencias continuamente hasta 1854. [63] A menudo se quejaba de las cargas de la enseñanza, sintiendo que era una pérdida de tiempo. Por otro lado, de vez en cuando calificaba a algún estudiante de talento. En todos estos 47 años de enseñanza, dio sólo tres conferencias sobre temas de matemáticas puras, mientras que la mayoría de sus conferencias versaron sobre astronomía, geodesia y matemáticas aplicadas . Algunos de los estudiantes de Gauss se convirtieron en matemáticos, físicos y astrónomos de renombre: Moritz Cantor , Dedekind , Dirksen , Encke , Gould , [f] Heine , Klinkerfues , Kupffer , Listing , Möbius , Nicolai , Riemann , Ritter , Schering , Scherk . , Schumacher , Seeber , von Staudt , Stern , Ursin ; como los geocientíficos Sartorius von Waltershausen y Wappäus . [sesenta y cinco]
Gauss no escribió ningún libro de texto y (a diferencia de sus amigos Bessel, Humboldt y Olbers) no le gustaba la popularización de cuestiones científicas. Sus únicos intentos de popularización fueron sus obras sobre la fecha de Pascua [66] y el ensayo Erdmagnetismus und Magnetometer de 1836. [52] Gauss publicó sus artículos y libros exclusivamente en latín o alemán . [g] Escribió latín en un estilo meramente clásico, pero utilizó algunas modificaciones habituales establecidas por los matemáticos contemporáneos. [68]
En su conferencia inaugural en la Universidad de Göttingen en 1808, Gauss afirmó que las observaciones fiables y los resultados obtenidos sólo mediante un cálculo potente eran las únicas tareas de la astronomía. [69] En la universidad, estuvo acompañado por un equipo de otros profesores de sus disciplinas, que completaron el programa educativo: por ejemplo, el brillante Thibaut en matemáticas, en física Weber y Mayer , conocido por sus exitosos libros de texto, y Harding , que Tomó la mayor parte de las conferencias sobre astronomía. Cuando se completó el observatorio, Gauss se instaló en el ala occidental del nuevo observatorio y Harding en el este. Hubo un tiempo en que mantuvieron relaciones amistosas con otro, pero con el tiempo se distanciaron, posiblemente (como suponen algunos biógrafos) porque Gauss había deseado que Harding, de igual rango, no fuera más que su asistente u observador. [h] Los años transcurridos desde 1820 fueron evaluados como un "período de menor actividad astronómica". [71] El observatorio nuevo y bien equipado no funcionó tan eficazmente como otros; La investigación astronómica de Gauss tenía el carácter de una empresa unipersonal, y la universidad sólo creó una plaza para un asistente después de la muerte de Harding en 1834. Sin embargo, Gauss rechazó dos veces la oportunidad de resolver el problema, aceptando ofertas de Berlín en 1810 y 1825. se convirtió en miembro de pleno derecho de la Academia Prusiana, sin cargarse con las tareas docentes, así como de la Universidad de Leipzig en 1810 y de la Universidad de Viena en 1842. Quizás la razón fue la difícil situación de su familia. [70] En sus últimos años, Gauss fue uno de los profesores mejor pagados de la universidad. [41]
Cuando su colega y amigo Friedrich Wilhelm Bessel le pidió ayuda a Gauss en 1810, quien estaba en problemas en la Universidad de Königsberg debido a su falta de un título académico, [i] Gauss otorgó a Bessel un doctorado honoris causa de la Facultad de Filosofía de Göttingen. en marzo de 1811. Gauss volvió a recomendar a Sophie Germain un título honorífico , pero poco antes de su muerte, por lo que nunca lo recibió. [72] También apoyó con éxito al talentoso matemático Gotthold Eisenstein en Berlín. [73]
Gauss participó en la administración académica: tres veces fue elegido decano de la Facultad de Filosofía. [74] Como se le confió el fondo de pensiones de viudedad de la universidad, se ocupó de la ciencia actuarial y escribió un informe sobre la estrategia para estabilizar los beneficios. Fue nombrado director de la Real Academia de Ciencias de Göttingen durante nueve años, incluso en su último año de vida. [74]
Poco después de la muerte de Gauss, su amigo Sartorius publicó la primera biografía (1856), escrita en un estilo bastante entusiasta. Sartorius vio a Gauss como un hombre sereno y emprendedor con modestia infantil, [75] pero también de "carácter férreo" [76] con una fuerza mental inquebrantable. [77] Se destacó por su sentido de justicia [78] y tolerancia religiosa. [79] Aparte de su círculo más cercano, otros lo consideraban reservado e inaccesible, "como un olímpico sentado en el trono en la cumbre de la ciencia". [80] Sus contemporáneos más cercanos estuvieron de acuerdo en que Gauss era un hombre de carácter difícil. A menudo se negaba a aceptar elogios. A veces sus visitantes se irritaban por su mal humor, pero poco tiempo después su humor podía cambiar y se convertía en un anfitrión encantador y de mente abierta. [52]
La vida de Gauss se vio ensombrecida por graves problemas en su familia. Cuando su primera esposa, Johanna, murió repentinamente poco después de la muerte de su tercer hijo, se sumió en una depresión de la que nunca se recuperó por completo. Poco después de su muerte, le escribió una última carta al estilo de un antiguo treno , el documento más personal que se conserva de Gauss. [81] [82] La situación empeoró cuando la tuberculosis afectó y finalmente destruyó la salud de su segunda esposa, Minna, durante 13 años; Más tarde, sus dos hijas padecieron la misma enfermedad. [83] Ambos hijos menores fueron educados durante algunos años en Celle , lejos de Göttingen. El propio Gauss dio sólo ligeros indicios de su angustia personal: en una carta a Bessel fechada en diciembre de 1831 se describió a sí mismo como "la víctima de los peores sufrimientos domésticos". [52]
Gauss llegó a dominar a sus hijos y eventualmente tuvo conflictos con sus hijos, porque no quería que ninguno de ellos ingresara a matemáticas o ciencias por "miedo a degradar el apellido", ya que creía que ninguno de ellos superaría sus propios logros. La carrera militar de su hijo mayor Joseph terminó después de más de dos décadas con el grado de primer teniente mal pagado , aunque había adquirido considerables conocimientos de geodesia. Necesitaba el apoyo financiero de su padre incluso después de casarse. [41] El segundo hijo, Eugen, compartía una buena medida del talento de Gauss en computación y lenguajes, pero tenía un carácter vivaz y a veces rebelde. Quería estudiar filología, mientras que Gauss quería que se convirtiera en abogado. Después de acumular deudas y provocar un escándalo público, [84] abandonó repentinamente Gotinga en circunstancias dramáticas en septiembre de 1830 y emigró a través de Bremen a los Estados Unidos. Desperdició el poco dinero que había tomado para empezar, después de lo cual su padre le negó más apoyo financiero. El hijo menor, Wilhelm, quería estudiar administración agrícola, pero tuvo dificultades para recibir una educación adecuada y también emigró. Sólo la hija menor de Gauss, Teresa, lo acompañó en sus últimos años de vida. [39]
La recopilación de datos numéricos sobre cosas muy diferentes, útiles o inútiles, se convirtió en un hábito en sus últimos años, por ejemplo, el número de caminos desde su casa a ciertos lugares de Göttingen, o el número de días de vida de las personas; felicitó a Humboldt en diciembre de 1851, cuando había alcanzado la misma edad que Isaac Newton en el momento de su muerte, calculada en días. [85]
Además de su excelente conocimiento del latín, también estaba familiarizado con las lenguas modernas. A la edad de 62 años comenzó a aprender ruso por su cuenta , siendo muy probable que entendiera los escritos científicos de Rusia, entre ellos los de Lobachevsky sobre geometría no euclidiana. [86] Gauss leyó literatura clásica y moderna, inglés y francés en los idiomas originales. [j] Su autor inglés favorito era Walter Scott , su alemán favorito Jean Paul . [88] A Gauss le gustaba cantar y asistía a conciertos. [89] Era un lector de periódicos ocupado y en sus últimos años solía visitar un salón de prensa académica de la universidad cada mediodía. [90] A Gauss no le importaba mucho la filosofía y se burlaba de los "pequeños pelos de punta de los llamados metafísicos", con lo que se refería a los defensores de la escuela contemporánea de Naturphilosophie . [91]
Gauss tenía un "naturaleza aristocrática y completamente conservadora", con poco respeto por la inteligencia y la moral de las personas, de acuerdo con el lema " mundus vult decipi ". No le gustaba Napoleón y su sistema, y todo tipo de violencia y revolución le causaban horror. Así, condenó los métodos de las revoluciones de 1848 , aunque estuvo de acuerdo con algunos de sus objetivos, como la idea de una Alemania unificada. [76] [k] En lo que respecta al sistema político, tenía una baja valoración del sistema constitucional; Criticó a los parlamentarios de su época por falta de conocimiento y errores lógicos. [90]
Gauss era leal a la Casa de Hannover . Después de la muerte del rey Guillermo IV en 1837, cesó la unión personal entre los reinos de Gran Bretaña e Irlanda y Hannover . Ese mismo año, el nuevo rey de Hannover, Ernesto Augusto, anuló la constitución dada al estado por su hermano en 1833. Siete destacados profesores, más tarde conocidos como los " Siete de Göttingen ", protestaron contra esto, entre ellos el amigo y colaborador de Gauss, Wilhelm Weber. y el yerno de Gauss, Heinrich Ewald. Todos fueron despedidos, tres de ellos expulsados, pero Ewald y Weber pudieron quedarse en Göttingen. Ewald asumió un cargo en la Universidad de Tubinga en 1838, donde la hija de Gauss, Guillermina, murió poco después en 1840, y Weber fue a la Universidad de Leipzig en 1843; Ambos regresaron a sus posiciones en Göttingen en 1849 como los únicos de los Siete de Göttingen. Gauss quedó profundamente afectado por esta disputa, pero no vio ninguna posibilidad de ayudarlos. [92]
Las creencias religiosas de Gauss han sido objeto de especulación por parte de algunos de sus biógrafos. A veces decía: "Dios es calculador". [93] y: "Lo logré, no gracias a mis duros esfuerzos, sino por la gracia del Señor". [94] Gauss era miembro de la iglesia luterana , como la mayoría de la población del norte de Alemania. Parece que no creía en todos los dogmas ni entendía que la Santa Biblia fuera cierta literalmente. [95] Sartorius mencionó la tolerancia religiosa de Gauss y estimó que su "sed insaciable de verdad" y su sentido de la justicia estaban motivados por convicciones religiosas. [79]
Gauss fue un inversor exitoso y acumuló una riqueza considerable con acciones y valores, pero desaprobaba la idea del papel moneda. [96] Después de su muerte se encontró una gran suma de dinero escondida en sus habitaciones. [97]
En su tesis doctoral de 1799, Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra , que establece que todo polinomio no constante de una sola variable con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja . Matemáticos, incluido Jean le Rond d'Alembert, habían presentado pruebas falsas antes que él, y la disertación de Gauss contiene una crítica del trabajo de d'Alembert. Posteriormente presentó otras tres pruebas, siendo la última de 1849 generalmente rigurosa. Sus intentos aclararon considerablemente el concepto de números complejos a lo largo del camino. [98]
Las anotaciones en el Diario matemático de Gauss indican que estuvo ocupado con el tema de la teoría de números al menos desde 1796. Un estudio detallado de investigaciones anteriores le mostró que algunos de sus hallazgos ya habían sido realizados por otros estudiosos. En los años 1798 y 1799 Gauss escribió una voluminosa recopilación de todos estos resultados en las famosas Disquisitiones Arithmeticae , publicada en 1801, que fue fundamental para consolidar la teoría de números como disciplina y abarcó tanto la teoría de números elemental como la algebraica . Allí introduce, entre otras cosas, el símbolo de triple barra ( ≡ ) para la congruencia y lo utiliza en una presentación limpia de la aritmética modular . Se trata del teorema de factorización única y del módulo de raíces primitivas n . En los capítulos principales, Gauss presenta las dos primeras pruebas de la ley de la reciprocidad cuadrática , que permite a los matemáticos determinar la solubilidad de cualquier ecuación cuadrática en aritmética modular, y desarrolla las teorías de las formas cuadráticas binarias y ternarias . [ cita necesaria ]
Los aspectos más destacados de estas teorías incluyen la ley de composición de Gauss para formas cuadráticas binarias, así como su enumeración del número de representaciones de un número entero como suma de tres cuadrados. Como corolario casi inmediato de su teorema sobre tres cuadrados , demuestra el caso triangular del teorema del número poligonal de Fermat para n = 3. De varios resultados analíticos sobre números de clase que Gauss da sin demostración hacia el final del quinto capítulo, parece que Gauss ya conocía la fórmula del número de clase en 1801. [99]
En el último capítulo, Gauss demuestra la constructibilidad de un heptadecágono regular (polígono de 17 lados) con regla y compás , reduciendo este problema geométrico a un problema algebraico. Demuestra que un polígono regular es construible si el número de sus lados es producto de primos distintos de Fermat y una potencia de 2. En el mismo capítulo, da un resultado sobre el número de soluciones de ciertos polinomios cúbicos con coeficientes en cuerpos finitos. , lo que equivale a contar puntos enteros en una curva elíptica . Unos 150 años después, André Weil comentó que este resultado particular, junto con algunos otros resultados inéditos de Gauss, lo llevaron a formular lo que ahora se llama conjeturas de Weil . [100] [l]
Gauss tenía la intención de incluir un octavo capítulo que trataría el tema de las congruencias superiores módulo de un número primo en toda su generalidad; el capítulo inacabado se encontró entre sus artículos sólo después de su muerte, y consta de trabajos realizados durante los años 1797-1799. [102] [103]
En 1831, Ludwig August Seeber publicó un libro sobre la teoría de la reducción de formas cuadráticas ternarias positivas, [104] de acuerdo con el programa esbozado en las Disquisitiones de Gauss . Sin embargo, no demostró un teorema central de su teoría, por lo que quedó como una mera conjetura. En su reseña del libro de Seeber, Gauss simplificó muchos de los extensos argumentos de Seeber, demostró esta conjetura central y destacó que este teorema es equivalente a la conjetura de Kepler para arreglos regulares. [105]
Gauss demostró el último teorema de Fermat para n = 3 y lo demostró esquemáticamente para n = 5 en sus escritos inéditos. El caso particular de n = 3 fue demostrado mucho antes por Leonhard Euler , pero Gauss desarrolló una prueba más simplificada que utilizó números enteros de Eisenstein ; aunque más general, la demostración era más sencilla que en el caso de los números enteros reales. [ cita necesaria ]
En sus dos importantes artículos sobre residuos bicuadráticos (publicados en 1828 y 1832), Gauss introduce el anillo de los enteros gaussianos y muestra que este anillo es un dominio de factorización único . Generaliza en este anillo muchos conceptos aritméticos clave, como el pequeño teorema de Fermat y el lema de Gauss . El principal objetivo de la introducción de este anillo fue formular la ley de reciprocidad bicuadrática; como descubrió Gauss, los anillos de números enteros complejos son el escenario natural para leyes de reciprocidad superiores. [ cita necesaria ]
En el segundo artículo, expone la ley general de la reciprocidad bicuadrática y demuestra varios casos especiales de la misma, pero falta una prueba del teorema general, a pesar de las afirmaciones de Gauss de que encontró tal demostración alrededor de 1814. Prometió un tercer artículo con una explicación general. prueba, que nunca ha aparecido. En una publicación anterior de 1818 que contiene sus pruebas quinta y sexta de reciprocidad cuadrática, afirma que las técnicas de estas pruebas ( sumas de Gauss ) pueden aplicarse para probar leyes de reciprocidad superiores. [ cita necesaria ]
Las publicaciones de Gauss sobre residuos bicuadráticos abrieron el camino para una ampliación ilimitada de la teoría de números y son memorables por la riqueza de investigaciones en "aritmética superior" a las que condujeron. [ cita necesaria ]
Uno de los primeros descubrimientos independientes de Gauss fue la noción de media aritmético-geométrica (AGM) de dos números reales positivos; sus investigaciones sistemáticas sobre la AGM lo llevaron a descubrir un panorama matemático inusualmente rico y a obtener muchos resultados nuevos asociados con él. [106] Descubrió su relación con las integrales elípticas en los años 1798-1799 a través de la transformación de Landen , y en una entrada de su diario registró su descubrimiento de la conexión de la constante de Gauss con las funciones elípticas lemniscaticas , un resultado que Gauss afirmó que "seguramente abrirá una nueva área de análisis". [107] También hizo incursiones tempranas en las cuestiones más formales de los fundamentos del análisis complejo , y de una carta a Bessel en 1811 queda claro que conocía el "teorema fundamental del análisis complejo" - el teorema integral de Cauchy - y entendía el Noción de residuos complejos al integrarse alrededor de polos . [metro]
Otra fuente de inspiración para los primeros trabajos de análisis de Gauss fue su conocimiento del teorema de los números pentagonales de Euler . Este teorema, junto con sus otras investigaciones sobre la AGM y las funciones lemniscaticas, le llevaron a numerosos resultados sobre las funciones theta de Jacobi , trabajo que culminó con el descubrimiento en 1808 de la más tarde llamada identidad del triple producto de Jacobi , que incluye el teorema de Euler como caso especial. [108] En su publicación de 1811 sobre la determinación del signo de la suma cuadrática de Gauss , Gauss resolvió el problema introduciendo coeficientes binomiales gaussianos y utilizando una línea de razonamiento que de alguna manera "oculta" su origen en la teoría de la función theta, como lo afirmaron matemáticos posteriores. han demostrado. Todo este trabajo se realizó varias décadas antes de la publicación de la " Fundamenta nova " de Jacobi en 1829; sin embargo, Gauss nunca encontró tiempo para escribir y organizar sistemáticamente todos sus pensamientos y teoremas de este tipo, y sus contemporáneos nunca conocieron el alcance de su trabajo. [ cita necesaria ]
Varios fragmentos matemáticos en su Nachlass indican que conocía bastante bien partes de la teoría moderna de formas modulares de Felix Klein y Robert Fricke . En su trabajo sobre el AGM multivaluado de dos números complejos, descubrió una conexión muy profunda entre los infinitos valores del AGM y sus dos "valores más simples". [109] Sus escritos inéditos incluyen varios dibujos que muestran que era bastante consciente del lado geométrico de la teoría; en el contexto de su trabajo sobre el complejo AGM reconoció y esbozó el concepto clave de dominio fundamental para el grupo modular . [n] Uno de los bocetos de este tipo de Gauss fue su dibujo de un mosaico del disco unitario mediante triángulos hiperbólicos "equiláteros" con todos los ángulos iguales a . [o]
Durante su vida, Gauss no publicó casi nada sobre esas teorías más modernas de funciones elípticas , pero sí publicó la mayoría de sus resultados sobre el tema relacionado de la función hipergeométrica . En su obra "Disquisitiones generales circa series infinitam..." (1812), proporcionó el primer tratamiento sistemático de la función hipergeométrica general , y demostró que muchas de las funciones conocidas por la ciencia en ese momento, como las funciones elementales y algunas Las funciones especiales son un caso especial de la función hipergeométrica. [110] Este trabajo fue el primero con una investigación exacta de la convergencia de series infinitas en la historia de las matemáticas. [111] Además, se ocupaba de infinitas fracciones continuas que surgían como razones de funciones hipergeométricas (que ahora se denominan fracciones continuas de Gauss ).
En 1822, Gauss publicó su ensayo premiado sobre asignaciones conformes , que contiene varios desarrollos que pertenecen al campo del análisis complejo. En este ensayo, Gauss hizo explícita la idea de que las asignaciones que preservan los ángulos en el plano complejo deben ser funciones analíticas complejas , y utilizó la más tarde llamada ecuación de Beltrami para demostrar la existencia de coordenadas isotérmicas en superficies analíticas. El ensayo concluye con ejemplos de asignaciones conformes en una esfera y un elipsoide de revolución . Además, en fragmentos inéditos de los años 1834-1839 [p] investigó y resolvió la tarea más difícil de construir explícitamente un mapeo conforme desde el interior de una elipse hasta el disco unitario. [112] Su solución, que combinó sus primeros trabajos sobre funciones elípticas y sus ideas posteriores sobre la teoría del potencial , revela su dominio de la teoría del potencial logarítmico, y sus resultados finales correspondieron a la fórmula encontrada por Hermann Schwarz en 1870. [113]
Gauss a menudo deducía teoremas de forma inductiva a partir de datos numéricos que había recopilado de forma empírica. Como tal, el uso de algoritmos eficientes para facilitar los cálculos fue vital para sus investigaciones e hizo muchas contribuciones al análisis numérico . En 1815, publicó un artículo sobre integración numérica , en el que describía su método de cuadratura gaussiana , que mejoró los métodos existentes e inspiró gran parte del trabajo realizado por matemáticos posteriores. [ cita necesaria ]
En una carta privada a Gerling de 1823, [114] describió una solución de cierto sistema de ecuaciones lineales 4X4 utilizando el método de Gauss-Seidel , un método iterativo "indirecto" para la solución de sistemas lineales, que en algunos casos converge muy rápidamente a la solución exacta. Gauss lo recomendó frente al método habitual (lo que se llama "eliminación directa") para sistemas de más de 2 ecuaciones, afirmando que se puede realizar "medio dormido, o mientras se piensa en otras cosas". [115] Como tal, fue una contribución temprana al álgebra lineal numérica . [ cita necesaria ]
Gauss inventó un algoritmo para calcular lo que ahora se llama transformada discreta de Fourier , a veces llamado "el algoritmo numérico más importante de nuestra vida", al calcular las órbitas de Palas y Juno en 1805, 160 años antes de que Cooley y Tukey publicaran su similar Cooley-Tukey. Algoritmo FFT . [116] Lo desarrolló como un método de interpolación trigonométrica , pero su artículo Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata sólo se publicó póstumamente en 1866, [117] precedido por la primera presentación de Joseph Fourier sobre el tema en 1807. [118]
La primera publicación tras la tesis doctoral versó sobre la determinación de la fecha de Pascua (1800), una cuestión muy elemental de matemáticas. Gauss pretendía presentar un algoritmo muy conveniente para personas sin ningún conocimiento en cronología eclesiástica o incluso astronómica, y así evitó los términos usualmente requeridos de número áureo , epact , ciclo solar , letra domenical y cualquier connotación religiosa. [119] Los biógrafos especularon sobre la razón por la cual Gauss se ocupó de este asunto, pero es probable que sea comprensible por los antecedentes históricos. La sustitución del calendario juliano por el calendario gregoriano había causado confusión en los cientos de estados del Sacro Imperio Romano Germánico desde el siglo XVI, y no terminó en Alemania hasta el año 1700, cuando se eliminó la diferencia de once días, pero la La diferencia en el cálculo de la fecha de Pascua permaneció entre los territorios protestantes y católicos. Un nuevo acuerdo de 1776 igualó la forma confesional de contar, por lo que en los estados protestantes como el Ducado de Brunswick la Pascua de 1777, cinco semanas antes del nacimiento de Gauss, fue la primera calculada de la nueva manera. [120] Las dificultades públicas de sustitución pueden ser el trasfondo histórico de la confusión sobre este asunto en la familia Gauss (ver capítulo: Anécdotas). Por estar relacionado con las regulaciones de Pascua, poco después en 1802 siguió un ensayo sobre la fecha de Pesaj .
El 1 de enero de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió el planeta enano Ceres . [122] Piazzi pudo seguir a Ceres sólo durante algo más de un mes, siguiéndolo durante tres grados a través del cielo nocturno, menos del 1% de la órbita total, hasta que desapareció temporalmente detrás del resplandor del Sol. Varios meses después, cuando Ceres debería haber reaparecido, Piazzi no pudo localizarlo: las herramientas matemáticas de la época no eran capaces de extrapolar una posición a partir de tan escasa cantidad de datos. Gauss abordó el problema en tres meses de intenso trabajo y predijo la posición de Ceres en diciembre de 1801. Esto resultó ser exacto en medio grado cuando fue redescubierto por Franz Xaver von Zach el 31 de diciembre de 7 en Gotha , y de forma independiente por Heinrich Olbers el 1/2 de enero en Bremen . [123] [q] Esta confirmación finalmente condujo a la clasificación de Ceres como designación de planeta menor 1 Ceres; que fue tomado como el planeta predicho entre Marte y Júpiter por la ley más especulativa de Titius-Bode . [14]
El método de Gauss implicaba determinar una sección cónica en el espacio, dado un foco (el Sol) y la intersección de la cónica con tres líneas dadas (líneas de visión desde la Tierra, que se mueve en una elipse, hasta el planeta) y dado el tiempo en que tarda el planeta en recorrer los arcos determinados por estas líneas (a partir de las cuales se pueden calcular las longitudes de los arcos mediante la Segunda Ley de Kepler ). Este problema conduce a una ecuación de octavo grado, de la cual se conoce una solución, la órbita de la Tierra. Luego, la solución buscada se separa de las seis restantes en función de las condiciones físicas. En este trabajo, Gauss utilizó métodos de aproximación integrales que creó para ese propósito. [124]
El descubrimiento de Ceres llevó a Gauss a su trabajo sobre una teoría del movimiento de los planetoides perturbados por grandes planetas, publicada finalmente en 1809 como Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum . En el proceso, simplificó tanto las engorrosas matemáticas de la predicción orbital del siglo XVIII que su trabajo sigue siendo una piedra angular de la computación astronómica. [125] Introdujo la constante gravitacional de Gauss . [69]
Desde que se descubrieron los nuevos asteroides, Gauss se ocupó de las perturbaciones de sus elementos orbitales . En primer lugar examinó a Ceres con métodos analíticos similares a los de Laplace, pero su objeto favorito era Palas , debido a su gran excentricidad e inclinación orbital , por lo que el método de Laplace no funcionó. Gauss utilizó sus propias herramientas: la media aritmético-geométrica , la función hipergeométrica y su método de interpolación. [126] Encontró una resonancia orbital con Júpiter en proporción 18: 7 en 1812; Gauss publicó este resultado como cifrado y dio el significado explícito sólo en cartas a Olbers y Bessel. [127] [128] [r] Después de largos años de trabajo, lo terminó en 1816 sin un resultado que le pareciera suficiente. Esto también marcó el final de sus actividades en la astronomía teórica. [130]
Un fruto de la investigación de Gauss sobre las perturbaciones de Palas fue su artículo Determinatio Appealis... (1818) sobre un método de astronomía teórica que más tarde se conoció como el "método del anillo elíptico". Este método introdujo una útil concepción de promedio en la que un planeta en órbita es reemplazado por un anillo ficticio con una densidad de masa proporcional al tiempo que tarda el planeta en seguir los arcos orbitales correspondientes. [131] Gauss presenta su método para evaluar la atracción gravitacional de tal anillo elíptico, que incluye varios pasos complicados; Uno de esos pasos implica una aplicación directa del algoritmo de media aritmético-geométrica (AGM) para calcular una integral elíptica . [s] A finales del siglo XIX, el método de Gauss fue adaptado por el astrónomo estadounidense George William Hill , quien lo aplicó directamente al problema de la perturbación secular inducida por Venus en la órbita de Mercurio . [132]
Si bien las contribuciones de Gauss a la astronomía teórica llegaron a su fin en 1818, sus actividades más prácticas en astronomía observacional continuaron y lo ocuparon durante toda su carrera. Incluso a principios de 1799, Gauss se ocupó de la determinación de la longitud mediante el uso del paralaje lunar, para lo cual desarrolló fórmulas más convenientes que las de uso común. [133] Después de su nombramiento como director del observatorio, concedió importancia a las constantes astronómicas fundamentales en correspondencia con Bessel. El propio Gauss proporcionó tablas para la nutación y la aberración, las coordenadas solares y la refracción. [134]
Es probable que Gauss haya utilizado el método de mínimos cuadrados para calcular la órbita de Ceres para minimizar el impacto del error de medición . [135] El método fue publicado por primera vez por Adrien-Marie Legendre en 1805, pero Gauss afirmó en Theoria motus (1809) que lo había estado utilizando desde 1794 o 1795. [136] [137] [138] En la historia de la estadística Este desacuerdo se denomina "disputa de prioridad sobre el descubrimiento del método de mínimos cuadrados". [58] Gauss demostró el método bajo el supuesto de errores normalmente distribuidos ( teorema de Gauss-Markov ) en su artículo Theoria combineis observerum erroribus minimis obnoxiae de 1821. [ cita necesaria ]
En este artículo, que fue relativamente poco conocido en el mundo de habla inglesa en el primer siglo después de su publicación, afirmó y demostró la desigualdad de Gauss (una desigualdad de tipo Chebyshev ) para distribuciones unimodales , y afirmó sin pruebas otra desigualdad para momentos del cuarto. orden (un caso especial de desigualdad de Gauss-Winckler). [139] Derivó límites inferior y superior para la varianza de la varianza muestral . [t] En un suplemento a este artículo, Gauss describió métodos recursivos de mínimos cuadrados que pasaron desapercibidos hasta 1950, cuando su trabajo fue redescubierto como consecuencia de la creciente demanda de estimación rápida para diversas tecnologías nuevas. El trabajo de Gauss sobre la teoría de los errores fue ampliado en varias direcciones por el geodesta Friedrich Robert Helmert , y la teoría de Gauss-Helmert se considera hoy como la teoría de los errores "clásica". [ cita necesaria ]
Gauss hizo varias contribuciones sorprendentes a problemas de la teoría de la probabilidad que no están directamente relacionados con la teoría de los errores, pero que ofrecen un vistazo a su visión amplia sobre la aplicabilidad del pensamiento probabilístico. Un ejemplo aparece como una nota en su diario y se ocupa de un problema muy inusual que le vino a la mente: describir la distribución asintótica de entradas en la expansión fraccionaria continua de un número aleatorio uniformemente distribuido en (0,1) . Derivó esta distribución, ahora conocida como distribución de Gauss-Kuzmin , como subproducto de su descubrimiento de la ergodicidad del mapa de Gauss para fracciones continuas . La solución de Gauss es el primer resultado de la teoría métrica de fracciones continuas. [140]
Gauss estuvo ocupado con problemas geodésicos desde 1799, cuando ayudó a Karl Ludwig von Lecoq con los cálculos durante su estudio en Westfalia. [141] Posteriormente, desde 1804, aprendió por sí mismo algunas prácticas geodésicas con un sextante en Brunswick, [142] y Gotinga. [143]
Desde 1816, su antiguo alumno Heinrich Christian Schumacher , entonces profesor en Copenhague , pero que vivía en Altona ( Holstein ), cerca de Hamburgo , realizó una triangulación de la península de Jutlandia desde Skagen en el norte hasta Lauenburg en el sur. [u] El objetivo no era sólo la base de la producción de mapas, sino también la determinación del arco geodésico de esa distancia. Schumacher pidió a Gauss que continuara este trabajo más al sur y dijo que podría encontrar apoyo para este proyecto directamente del gobierno de Hannover. Finalmente, en mayo de 1820, el rey Jorge IV dio la orden a Gauss. [144]
Gauss y Schumacher ya habían determinado algunos ángulos entre Lüneburg , Hamburgo y Lauenburg para la conexión geodésica en octubre de 1818. [145] Durante los veranos de 1821 a 1825, Gauss dirigió personalmente la triangulación, que iba desde Turingia en el sur hasta el río Elba . en el norte. El triángulo entre Hoher Hagen, Großer Inselsberg en el bosque de Turingia y Brocken en las montañas de Harz fue el más grande que Gauss había medido jamás, con un lado máximo de 107 km (66,5 millas). En el escasamente poblado Brezal de Lüneburg , sin cumbres naturales importantes ni edificios artificiales, tuvo dificultades para encontrar puntos de triangulación adecuados, a veces fue necesario cortar carriles a través de la vegetación o incluso erigir torres de señales. [146]
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Para señalar señales, Gauss inventó un nuevo instrumento con espejos móviles y un pequeño telescopio que refleja los rayos del sol hasta los puntos de triangulación, y lo llamó heliotropo . [147] Otra construcción adecuada para el mismo propósito fue un sextante con un espejo adicional al que llamó vice heliotropo . [148] Gauss recibió ayuda de soldados del ejército de Hannover, entre ellos su hijo mayor, Joseph. Gauss participó en la medición de la línea base ( Braak Base Line ) de Schumacher en el pueblo de Braake cerca de Hamburgo en 1820 y utilizó el resultado para evaluar su triangulación. [149]
La medición del arco requería una determinación astronómica precisa de dos puntos de la red . Gauss y Schumacher aprovecharon la ocasión favorita de que ambos observatorios en Göttingen y Altona, en el jardín de la casa de Schumacher, se encontraban casi a la misma longitud . La latitud se midió tanto con instrumentos propios como con un sector cenital de Ramsden que fue transportado a ambos observatorios. [150] [v]
Un resultado adicional fue un mejor valor del aplanamiento del elipsoide terrestre aproximado . [151] [w] Gauss desarrolló la proyección transversal universal de Mercator de la Tierra de forma elipsoidal (lo que llamó proyección conforme ) [153] para representar datos geodésicos en cartas planas.
Cuando terminó la medición del arco, Gauss pretendía ampliar la triangulación hacia el oeste para obtener un estudio de todo el Reino de Hannover . El trabajo práctico estuvo dirigido por tres oficiales del ejército, entre ellos el teniente Joseph Gauss. La evaluación completa de los datos estuvo en manos de Carl Friedrich Gauss, quien aplicó sus inventos matemáticos como el método de mínimos cuadrados y su método de eliminación . El proyecto se terminó en 1844, pero Gauss no publicó un informe final del proyecto y su método de proyección; este trabajo no se realizó hasta 1866. [154] [155]
En 1828, al estudiar las diferencias de latitud , Gauss definió por primera vez una aproximación física de la figura de la Tierra como la superficie en todas partes perpendicular a la dirección de la gravedad; [156] más tarde, su estudiante de doctorado Johann Benedict Listing lo llamó geoide . [157]
El estudio geodésico de Hannover alimentó el interés de Gauss por la geometría diferencial y la topología , campos de las matemáticas que se ocupan de curvas y superficies . Esto lo llevó en 1828 a la publicación de una memoria que marca el nacimiento de la geometría diferencial de superficies moderna , ya que se apartó de las formas tradicionales de tratar las superficies como gráficas cartesianas de funciones de dos variables y, en cambio, fue pionero en un enfoque revolucionario que inició la exploración de superficies desde el punto de vista "interior" de un ser bidimensional obligado a moverse sobre él. Su resultado culminante, el Theorema Egregium ( teorema notable ), estableció una propiedad de la noción de curvatura gaussiana . Informalmente, el teorema dice que la curvatura de una superficie se puede determinar completamente midiendo ángulos y distancias en la superficie. Es decir, la curvatura no depende de cómo la superficie podría estar incrustada en un espacio tridimensional o bidimensional. [ cita necesaria ]
El Theorema Egregium conduce a la abstracción de las superficies como variedades doblemente extendidas : deja clara la distinción entre las propiedades intrínsecas de la variedad (la métrica ) y su realización física (la incrustación) en el espacio ambiental. Una consecuencia es la imposibilidad de una transformación isométrica entre superficies de diferente curvatura gaussiana. Esto significa prácticamente que una esfera o un elipsoide no se puede transformar en un plano sin distorsión, lo que provoca un problema fundamental en el diseño de proyecciones para mapas geográficos. [ cita necesaria ]
Una parte adicional significativa de su ensayo está dedicada a un estudio profundo de las geodésicas . En particular, Gauss demuestra el teorema local de Gauss-Bonnet en triángulos geodésicos y generaliza el teorema de Legendre en triángulos esféricos a triángulos geodésicos en superficies arbitrarias con curvatura continua; Descubrió que los ángulos de un triángulo geodésico "suficientemente pequeño" se desvían de los de un triángulo plano de los mismos lados de una manera que depende sólo de los valores de la curvatura de la superficie en los vértices del triángulo, independientemente del comportamiento del superficie en el interior del triángulo. [ cita necesaria ]
En las memorias de Gauss faltaba una concepción geométrica diferencial clave, la de la curvatura geodésica . Sin embargo, sus artículos póstumos demuestran que esta noción no se le escapó de la mente, y en los años de redacción de sus memorias también redactó un manuscrito en el que la presentaba y se refería a ella como "curvatura lateral" (en alemán: "Seitenkrümmung" ). Más importante aún, demostró su invariancia bajo transformaciones isométricas, resultado obtenido más tarde por Ferdinand Minding . Basándose en esta evidencia y en el anuncio en sus memorias de futuras investigaciones sobre la integral de curvatura, es muy probable que conociera la versión más general del teorema de Gauss-Bonnet demostrado por Pierre Ossian Bonnet en 1848, que se acerca en espíritu a la Versión global de este teorema. [158] [x]
En vida de Gauss se produjo una viva discusión sobre el axioma de las paralelas de Euclides. Numerosos matemáticos se esforzaron por demostrarlo, mientras que algunos de ellos discutieron la posibilidad de sistemas geométricos sin él. [159] El propio Gauss sólo estaba interesado en los aspectos geométricos del espacio físico, pero no le importaban los aspectos filosóficos de una geometría ampliada. En 1816, hizo su primer breve comentario público sobre este asunto en la reseña de un libro, y en el tiempo siguiente hizo ocasionalmente algunos comentarios en cartas a sus corresponsales. [160] [161] Él es quien acuñó el término "geometría no euclidiana". [162]
No fue hasta que Lobachevsky (1829) y Janos Bolyai (1832) publicaron sus ideas sobre una geometría no euclidiana –por primera vez en la historia de las matemáticas–, [159] el propio Gauss dejó por escrito sus ideas, pero evitó cualquier influencia en la literatura contemporánea. discusión científica, porque no publicó al respecto. [160] [163] Gauss elogió las ideas de Janos Bolyai en una carta a su padre, [164] afirmando que eran congruentes con sus propios pensamientos desde hace algunas décadas. [160] [165] Pero no está claro hasta qué punto precedió a Lobachevsky y Bolyai, ya que sólo hizo comentarios vagos y oscuros al respecto en sus cartas. [159]
Sartorius lo mencionó por primera vez en 1856, pero sólo la edición de los artículos dejados en el Volumen VIII de sus Obras completas (1900) mostró el progreso del propio Gauss en ese asunto, en un momento en que la geometría no euclidiana aún había surgido de una discusión controvertida. [160]
En 1854, Gauss seleccionó el tema de la conferencia inaugural de Bernhard Riemann Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen entre tres propuestas. [166] [167] En el camino a casa después de la conferencia de Riemann, Weber informó que Gauss estaba lleno de elogios y entusiasmo. [168]
Uno de los aspectos menos conocidos del trabajo de Gauss es que también fue uno de los primeros pioneros de la topología , o como se la llamó en su vida, Geometria Situs . Su primera demostración del teorema fundamental del álgebra contenía un argumento esencialmente topológico; cincuenta años después, desarrolló aún más el argumento topológico en su cuarta prueba de este teorema (en 1849). [169]
Su primer encuentro "serio" con los conceptos topológicos se le ocurrió durante su trabajo astronómico, y en un pequeño artículo de 1804 determinó los límites de la región de la esfera celeste en la que podían aparecer cometas y asteroides, región que denominó "Zodiaco". Determinó esta región y observó que si las órbitas de la Tierra y los cometas están vinculadas , entonces, por razones topológicas, el Zodíaco es la esfera completa. En 1848, en el contexto del descubrimiento del asteroide 7 Iris , publicó otro breve artículo en el que profundizó en la discusión cualitativa del Zodíaco. [170]
De las cartas de Gauss durante el período 1820-1830, se puede aprender que pensó intensamente en temas con estrecha afinidad con Geometria Situs, y gradualmente se volvió consciente de la dificultad semántica en este campo. Fragmentos de este período revelan que intentó clasificar las "Tractfigurens", que son curvas planas cerradas con un número finito de autointersecciones transversales, que también pueden ser proyecciones planas de nudos . Para ello ideó un esquema simbólico, el código de Gauss , que en cierto sentido capturaba los rasgos característicos de las figuras de los tratados. [ cita necesaria ]
En un fragmento de 1833, Gauss definió el número de enlace de dos curvas espaciales mediante una determinada integral doble, y al hacerlo proporcionó por primera vez una formulación analítica de un fenómeno topológico. En la misma nota, lamentó los pocos avances en Geometria Situs, y remarcó que uno de sus problemas centrales será "contar los entrelazamientos de dos curvas cerradas o infinitas". Sus cuadernos de notas de esa época revelan que también pensaba en otros objetos topológicos como trenzas y enredos . [170]
En sus últimos años, Gauss tenía en muy alta estima el campo emergente de la topología y esperaba grandes desarrollos futuros para él, pero como hay tan poco material escrito de Gauss de este período, su influencia se produjo principalmente a través de comentarios ocasionales y comunicaciones orales. [y] Por ejemplo, un informe indirecto de Mobius se refirió a una superficie construida por Gauss, que Gauss llamó "doble anillo" y dijo algo sobre sus propiedades de conectividad . [171] Este informe es consistente con un fragmento de Gauss, escrito alrededor de 1840, que esboza una teoría del orden de conectividad de superficies. [172] Listing expresó su deuda con la influencia de Gauss en la introducción de su libro " Vorstudien zur Topologie " (1847). [173] [z]
El trabajo de Gauss no sólo inició importantes teorías matemáticas, sino que también fue autor de muchas pequeñas "joyas" en matemáticas, especialmente en geometría elemental y álgebra. A su manera, ayudó a difundir las nuevas ideas matemáticas de su tiempo demostrando cómo iluminan y acortan la solución de pequeños problemas matemáticos. [ cita necesaria ]
Por ejemplo, tenía un espíritu vivo en la aplicación de números complejos a diversos problemas, y los utilizó en su trabajo sobre perspectiva y geometría proyectiva : en una breve nota de 1836 sobre "Proyecciones del cubo", expuso el teorema fundamental de la axonometría , que explica cómo representar un cubo 3D en un plano 2D con total precisión, mediante números complejos. [174] En una nota inédita de 1819 titulada "la Esfera", concibió el plano complejo extendido por un punto en el infinito como la proyección estereográfica de una esfera (la esfera de Riemann ), y describió las rotaciones de esta esfera como la acción de ciertos transformaciones fraccionarias lineales en el plano complejo extendido. [175]
Gauss parece tener en su visión el sistema algebraico de cuaterniones , descubrimiento posterior de William Rowan Hamilton . En 1819, Gauss redactó un breve tratado inédito sobre "Rotaciones del espacio", en el que detallaba el uso de cuádruples de números reales (a los que llamó "escalas") para describir rotaciones 3D. [176]
En geometría elemental, contribuyó con su solución al problema de construir la elipse de mayor área que pueda inscribirse en un cuadrilátero determinado, que se publicó en 1810 como complemento a la traducción de Schumacher del tratado Géométrie de position de Lazare Carnot . [177] Descubrió un resultado sorprendente sobre el cálculo del área de pentágonos . Hizo muchas contribuciones a la geometría esférica y en este contexto resolvió algunos problemas prácticos sobre la navegación estelar . [Automóvil club británico]
Una de sus investigaciones se refería al " Pentagramma mirificum " de John Napier , cierto pentagrama esférico cuyas propiedades intrigaron y ocuparon la mente de Gauss durante varias décadas. En sus estudios del Pentagrama lo abordó desde varios puntos de vista y gradualmente obtuvo una comprensión completa de sus aspectos geométricos, algebraicos y analíticos. En particular, en 1843 estableció y demostró varios teoremas que conectan funciones elípticas, pentágonos esféricos de Napier y pentágonos de Poncelet en el plano. [178]
El interés de Gauss por el magnetismo es evidente desde la primera década del siglo XIX. Desde 1826, cuando Alexander von Humboldt lo visitó en Göttingen, ambos científicos comenzaron una intensa investigación sobre el geomagnetismo , en parte de forma independiente, en parte en cooperación productiva. [179] En 1828, Gauss fue invitado personal de Humboldt durante la conferencia de la Sociedad de Científicos Naturales y Médicos Alemanes en Berlín, donde conoció al físico Wilhelm Weber . [180]
Cuando Weber obtuvo la cátedra de física en Gotinga como sucesor de Johann Tobias Mayer por recomendación de Gauss en 1831, ambos iniciaron una fructífera colaboración que condujo a un nuevo conocimiento del magnetismo con una representación de la unidad del magnetismo en términos de masa. carga y tiempo. [181] Fundaron la Asociación Magnética (en alemán: "Magnetischer Verein"), un grupo de trabajo internacional de varios observatorios, que apoyó las mediciones del campo magnético de la Tierra en muchas regiones del mundo con métodos iguales en fechas concertadas en los años 1836 a 1841. En 1836, Humboldt contribuyó a organizar la expansión mundial de los observatorios, incluidos los dominios británicos , con una carta al duque de Sussex , entonces presidente de la Royal Society, en la que solicitaba apoyo para un programa de investigación global basado en los métodos de Gauss. . [182] Junto con otros instigadores, esto condujo a un programa global conocido como " Cruzada magnética " bajo la dirección de Edward Sabine . Las fechas, horas e intervalos de las observaciones se determinaron de antemano; como estándar se utilizó el tiempo medio de Gotinga . [183] Finalmente 61 estaciones participaron en este programa global. Gauss y Weber fundaron una serie para la publicación de los resultados; se editaron seis volúmenes entre 1837 y 1843. La partida de Weber a Leipzig en 1843 como efecto tardío del asunto Göttingen Seven marcó el final de la actividad de la Asociación Magnética. [184]
Siguiendo el ejemplo de Humboldt, Gauss ordenó que se construyera un observatorio magnético en el jardín de su observatorio, pero ambos científicos diferían sobre el equipo instrumental; Gauss prefería los instrumentos estacionarios, que pensaba que daban resultados más precisos, mientras que Humboldt estaba acostumbrado a los instrumentos móviles. Gauss estaba interesado en la variación temporal y espacial de la declinación, inclinación e intensidad magnéticas, pero discriminó el concepto de intensidad magnética de Humboldt en términos de intensidad "horizontal" y "vertical". Junto con Weber, desarrolló métodos para medir los componentes de la intensidad del campo magnético y construyó un magnetómetro adecuado para medir valores absolutos de la fuerza del campo magnético de la Tierra, no más relativos que dependían del aparato. [184] [185] La precisión del magnetómetro era aproximadamente diez veces mayor que la de los instrumentos anteriores. Con este trabajo, Gauss fue el primero en derivar una cantidad no mecánica a partir de cantidades mecánicas básicas. [183]
Gauss llevó a cabo una "Teoría general del magnetismo terrestre" (1839), en la que creía describir la naturaleza de la fuerza magnética; Siguiendo a Felix Klein, este trabajo es en realidad una presentación de observaciones mediante el uso de armónicos esféricos en lugar de una teoría física. [186] La teoría predijo la existencia de exactamente dos polos magnéticos en la Tierra, por lo que la idea de Hansteen de cuatro polos magnéticos quedó obsoleta, [187] y los datos permitieron determinar su ubicación con bastante buena precisión. [188] En sus "Teoremas generales sobre las fuerzas de atracción y repulsión que actúan en proporciones recíprocas de distancias cuadráticas" (1840) Gauss dio la base de una teoría del potencial magnético , basada en Lagrange, Laplace y Poisson; [186] parece bastante improbable que tuviera conocimiento de los trabajos anteriores de George Green sobre este tema. [189] Sin embargo, Gauss nunca pudo dar ninguna razón para el magnetismo, ni una teoría del magnetismo similar al trabajo de Newton sobre la gravitación, que permitiera a los científicos predecir los efectos geomagnéticos en el futuro. [183]
Gauss tuvo influencia en los inicios de la geofísica en Rusia, cuando Adolph Theodor Kupffer , uno de sus antiguos alumnos, fundó un observatorio magnético en San Petersburgo , siguiendo el ejemplo del observatorio de Göttingen, y del similar Ivan Simonov en Kazán . [187]
Los descubrimientos de Hans Christian Ørsted sobre el electromagnetismo y de Michael Faraday sobre la inducción electromagnética llamaron la atención de Gauss sobre estas cuestiones. [189] Gauss y Weber encontraron las reglas para circuitos eléctricos ramificados , más tarde denominadas leyes de circuitos de Kirchhoff , [190] e hicieron investigaciones sobre electromagnetismo. Construyeron el primer telégrafo electromecánico en 1833 y el propio Weber conectó el observatorio con el Instituto de Física en el centro de la ciudad de Göttingen, [ab] pero no les interesaba ningún desarrollo posterior de este invento con fines comerciales. [191] [192] [193]
Los principales intereses teóricos de Gauss en el electromagnetismo se reflejaron en sus intentos de formular leyes cuantitativas que gobiernen la inducción electromagnética. En sus cuadernos de estos años registró varias formulaciones innovadoras; Descubrió la idea de la función potencial vectorial (redescubierta de forma independiente por Franz Ernst Neumann en 1845), y en enero de 1835 escribió una "ley de inducción" equivalente a la ley de Faraday , que establecía que la fuerza electromotriz en un punto dado del espacio es igual a la tasa de cambio instantánea (con respecto al tiempo) de esta función. [ac] [194]
Gauss intentó encontrar una ley unificadora para los efectos a larga distancia de la electrostática , la electrodinámica , el electromagnetismo y la inducción , comparable a la ley de gravitación de Newton, [195] pero su intento terminó en un "trágico fracaso". [183]
El fabricante de instrumentos Johann Georg Repsold en Hamburgo pidió ayuda a Gauss en 1807 para construir un sistema de lentes acromáticos. Basándose en los cálculos de Gauss, Repsold consiguió un nuevo objetivo en 1810. Un problema principal, entre otras dificultades, era el conocimiento impreciso del índice de refracción y la dispersión de los tipos de vidrio utilizados. En un breve artículo de 1817, Gauss abordó el problema de la eliminación de la aberración cromática en lentes dobles , e hizo cálculos sobre los ajustes de la forma y los coeficientes de refracción necesarios para minimizarla. Su trabajo fue notado por el óptico Carl August von Steinheil , quien en 1860 introdujo el doblete acromático Steinheil , basado en parte en los cálculos de Gauss. [196] Muchos resultados en óptica geométrica se encuentran dispersos en las correspondencias y notas de Gauss. [197]
En sus influyentes Investigaciones dióptricas (1840), Gauss realizó el primer análisis sistemático sobre la formación de imágenes bajo una aproximación paraxial ( óptica gaussiana ). [198] Gauss demostró que bajo una aproximación paraxial un sistema óptico puede caracterizarse por sus puntos cardinales , [199] y derivó la fórmula de la lente gaussiana , aplicable sin restricciones con respecto al espesor de las lentes. [200] [201]
El primer y último trabajo de Gauss en mecánica se refería a la rotación de la Tierra . Cuando su amigo de la universidad Benzenberg llevó a cabo experimentos para determinar la desviación de las masas que caían respecto de la perpendicular en 1802, lo que hoy se conoce como efecto de la fuerza de Coriolis , le pidió a Gauss un cálculo teórico de los valores para compararlos con los experimentales. . Gauss elaboró un sistema de ecuaciones fundamentales para el movimiento, y sus resultados se corresponden suficientemente con los datos de Benzenberg, quien publicó las consideraciones de Gauss como apéndice de su libro sobre experimentos de caída. [202]
Después de que Foucault hiciera una demostración pública de su péndulo en 1851, Gerling interrogó a Gauss para que le diera más explicaciones. Esto instigó a Gauss a diseñar un nuevo aparato de demostración con un péndulo de longitud mucho más corta que el de Foucault. Las oscilaciones se observaban con un telescopio de lectura, con escala vertical y un espejo fijado al péndulo; el tiempo de oscilación fue de 3,1 segundos. Se describe en la correspondencia Gauss-Gerling, y Weber hizo algunos experimentos con este aparato que obviamente funcionaba en 1853, pero no se publicaron datos. [203] [204]
El principio de mínima restricción de Gauss de 1829 se estableció como un concepto general para superar la división de la mecánica en estática y dinámica, combinando el principio de D'Alembert con el principio de Trabajo Virtual de Lagrange , y mostrando analogías con el método de mínimos cuadrados . [205]
En 1828, Gauss fue nombrado jefe de la Junta de Pesos y Medidas del Reino de Hannover. Proporcionó la creación de estándares de longitud y medidas. El propio Gauss se encargó de las laboriosas medidas y dio órdenes detalladas para la preparación mecánica. [120] En su correspondencia con Schumacher, que también estaba trabajando en este asunto, describió nuevas ideas para escalas de alta precisión. [206] Dio sus informes finales sobre el pie y la libra de Hannover al gobierno en 1841. Este trabajo adquirió una importancia más que regional por orden de una ley de 1836, que conectaba las medidas de Hannover con las inglesas. [120]
Se han informado varias historias de su genio temprano. La madre de Carl Friedrich Gauss nunca había registrado la fecha de su nacimiento, recordando sólo que había nacido un miércoles, ocho días antes de la Fiesta de la Ascensión , que ocurre 39 días después de Pascua. [121] Más tarde, Gauss resolvió este enigma sobre su fecha de nacimiento en el contexto de encontrar la fecha de Pascua , derivando métodos para calcular la fecha tanto en años pasados como futuros. [207] Gauss sintió lástima por su hija recién nacida Guillermina, porque nació en el día bisiesto de 1808 y, por lo tanto, celebraría su cumpleaños sólo cada cuatro años. [208]
En su homenaje a Gauss, Wolfgang Sartorius von Waltershausen cuenta la historia de Gauss, de tres años de edad, que corrigió un error matemático cometido por su padre. La historia más popular, también contada por Sartorius, habla de un ejercicio escolar: el profesor JG Büttner y su asistente Martin Bartels ordenaron a los alumnos que sumaran una serie aritmética . Entre un centenar de alumnos, Gauss fue el primero en resolver correctamente el problema por un margen significativo. [209] Aunque (o porque) Sartorius no dio detalles, con el paso del tiempo se han creado muchas versiones de esta historia, con cada vez más detalles sobre la naturaleza de la serie – siendo el más frecuente el clásico problema de sumar todos los números enteros del 1 al 100 – y las circunstancias en el aula. [210] [anuncio]
El autor inglés favorito de Gauss era Walter Scott; cuando a veces leía las palabras "la luna sale amplia en el noroeste", se divertía mucho. [212]
La primera membresía de una sociedad científica le fue otorgada a Gauss en 1802 por la Academia de Ciencias de Rusia . Otras membresías (correspondientes, extranjeras o de pleno derecho) fueron la Academia de Ciencias de Göttingen (1802/1807), [213] la Academia de Ciencias de Francia (1804/1820), [214] la Royal Society de Londres (1804), [ 215] la Real Academia Prusiana de Berlín (1810), [216] la Academia Nacional de Ciencias de Verona (1810), [217] la Real Sociedad de Edimburgo (1820), [218] la Academia Bávara de Ciencias de Munich (1820 ), [219] la Real Academia Danesa de Copenhague (1821), la Real Sociedad Astronómica de Londres (1821), [220] la Real Academia Sueca de Ciencias (1821), la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias de Boston (1822) , [221] la Real Sociedad Bohemia de Ciencias de Praga (1833), la Real Academia de Ciencias, Letras y Bellas Artes de Bélgica (1841/1845), [222] la Real Sociedad de Ciencias de Uppsala (1843), la Real Academia Irlandesa de Dublín (1843), el Real Instituto de los Países Bajos (1845/1851), [223] la Real Academia Española de Ciencias de Madrid (1850), [224] la Sociedad Geográfica Rusa (1851), la Academia Imperial de Ciencias en Viena (1848), la Sociedad Filosófica Americana (1853), [225] la Sociedad Filosófica de Cambridge y la Sociedad Real Holandesa de Ciencias en Haarlem. [226]
Gauss fue miembro honorario de la Universidad de Kazán y de la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga desde 1849. [227]
Gauss recibió el Premio Lalande de la Academia Francesa de Ciencias en 1809 por la teoría de los planetas y los medios para determinar sus órbitas a partir de sólo tres observaciones, [228] el premio de la Academia Danesa de Ciencias en 1823 por "su estudio de mapas que preservan los ángulos". ", y la Medalla Copley de la Royal Society en 1838 por "sus inventos e investigaciones matemáticas en magnetismo". [226]
Gauss fue nombrado Caballero de la Legión de Honor francesa [229] en 1837 y fue uno de los primeros miembros de la Orden Prusiana Pour le Merite (clase Civil) cuando se estableció en 1842. [230] Recibió la Orden de la Corona. de Westfalia (1810), la Orden danesa de Dannebrog (1817), la Real Orden Güelfica de Hannover (1815), la Orden sueca de la Estrella Polar (1844), la Orden de Enrique el León (1849) y la Orden de Maximiliano de Baviera. Orden para la Ciencia y el Arte (1853). [226]
Los reyes de Hannover le otorgaron los títulos honoríficos de " Hofrath " (1816) [74] y "Geheimer Hofrath" [ae] (1845). Con motivo del jubileo de su doctorado de oro, obtuvo la ciudadanía honoraria de las ciudades de Brunswick y Göttingen en 1849. [226] Poco después de su muerte, se emitió una medalla por orden del rey Jorge V de Hannover con la inscripción en el reverso: GEORGIVS. V REX HANNOVERAE MATHEMATICORVM PRINCIPI y la circunscripción: ACADEMIAE SVAE GEORGIAE AVGVSTAE DECORI AETERNO . [231]
La ″Gauss-Gesellschaft Göttingen″ ( Sociedad Gauss ) fue fundada en 1964 para realizar investigaciones sobre la vida y obra de Carl Friedrich Gauss y personas relacionadas y edita las ″Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft″ ( Comunicaciones de la Sociedad Gauss ). [232]
La Academia de Ciencias y Humanidades de Gotinga ofrece una colección completa de las cartas aún conocidas de y para Carl Friedrich Gauss, a la que se puede acceder en línea. [64] El patrimonio literario es conservado y proporcionado por la Biblioteca Estatal y Universitaria de Gotinga . [233] El patrimonio escrito de Carl Friedrich Gauss y sus familiares también se puede encontrar en el archivo municipal de Brunswick. [234]
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