Función elíptica

Clase de funciones matemáticas periódicas.

En el campo matemático del análisis complejo , las funciones elípticas son tipos especiales de funciones meromórficas que satisfacen dos condiciones de periodicidad. Se denominan funciones elípticas porque provienen de integrales elípticas . Esas integrales, a su vez, se denominan elípticas porque se encontraron por primera vez para calcular la longitud del arco de una elipse .

Las funciones elípticas importantes son las funciones elípticas de Jacobi y la función de Weierstrass ${\displaystyle \wp }$ .

Un mayor desarrollo de esta teoría condujo a funciones hiperelípticas y formas modulares .

Definición

Una función meromórfica se llama función elíptica, si hay dos números complejos lineales independientes tales que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z)}$y . ${\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C} }$

Entonces las funciones elípticas tienen dos períodos y por tanto son funciones doblemente periódicas .

Red de período y dominio fundamental.

Paralelogramo donde se identifican los lados opuestos

Si es una función elíptica con períodos también se cumple que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$

${\displaystyle f(z+\gamma )=f(z)}$

para cada combinación lineal con . ${\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$

El grupo abeliano

${\displaystyle \Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$

se llama red de período .

El paralelogramo generado por y ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}}$

es un dominio fundamental de actuación sobre . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Geométricamente, el plano complejo está repleto de paralelogramos. Todo lo que sucede en un dominio fundamental se repite en todos los demás. Por esa razón, podemos ver las funciones elípticas como funciones con el grupo cociente como su dominio. Este grupo de cocientes, llamado curva elíptica , se puede visualizar como un paralelogramo donde se identifican lados opuestos, que topológicamente es un toroide . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

teoremas de liouville

Los tres teoremas siguientes se conocen como teoremas de Liouville (1847).

1er teorema

Una función elíptica holomorfa es constante. ^[2]

Ésta es la forma original del teorema de Liouville y puede derivarse de él. ^[3] Una función elíptica holomorfa está acotada ya que toma todos sus valores en el dominio fundamental que es compacto. Entonces es constante según el teorema de Liouville.

2do teorema

Toda función elíptica tiene un número finito de polos y la suma de sus residuos es cero. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Este teorema implica que no existe una función elíptica distinta de cero con exactamente un polo de orden uno o exactamente un cero de orden uno en el dominio fundamental.

3er teorema

Una función elíptica no constante toma cada valor el mismo número de veces contando con multiplicidad. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Función Weierstrass ℘

Una de las funciones elípticas más importantes es la función de Weierstrass. Para una red de período dado, se define por ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Está construido de tal manera que tiene un polo de orden dos en cada punto de la red. El término está ahí para hacer convergente la serie. ${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

${\displaystyle \wp }$es una función elíptica par; eso es, . ^[6] ${\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}$

su derivado

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$

es una función impar, es decir ^[6] ${\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z).}$

Uno de los principales resultados de la teoría de funciones elípticas es el siguiente: Toda función elíptica con respecto a un período determinado de red se puede expresar como una función racional en términos de y . ^[7] ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \wp '}$

La función satisface la ecuación diferencial . ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

donde y son constantes que dependen de . Más precisamente, y , donde y se denominan series de Eisenstein . ^[8] ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle G_{4}}$ ${\displaystyle G_{6}}$

En lenguaje algebraico, el campo de funciones elípticas es isomorfo al campo

${\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})}$,

donde el isomorfismo se asigna a y a . ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle Y}$

• 
  Weierstrass -función con celosía de período ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z} }$
• 
  Derivada de la función ${\displaystyle \wp }$

Relación con integrales elípticas

La relación con las integrales elípticas tiene principalmente un trasfondo histórico. Las integrales elípticas habían sido estudiadas por Legendre , cuyo trabajo fue asumido por Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi .

Abel descubrió las funciones elípticas tomando la función inversa de la función integral elíptica ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$

con . ^[9] ${\displaystyle x=\varphi (\alpha )}$

Además definió las funciones ^[10]

${\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$

y

${\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$.

Después de continuar al plano complejo resultaron ser doblemente periódicas y se conocen como funciones elípticas de Abel .

Las funciones elípticas de Jacobi se obtienen de manera similar como funciones inversas de integrales elípticas.

Jacobi consideró la función integral

${\displaystyle \xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$

y lo invirtió: . significa sinus amplitudinis y es el nombre de la nueva función. ^[11] Luego introdujo las funciones coseno amplitudinis y delta amplitudinis , que se definen de la siguiente manera: ${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi )}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$

${\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}$.

Sólo dando este paso, Jacobi pudo demostrar su fórmula de transformación general de integrales elípticas en 1827. ^[12]

Historia

Poco después del desarrollo del cálculo infinitesimal, el matemático italiano Giulio di Fagnano y el matemático suizo Leonhard Euler iniciaron la teoría de las funciones elípticas . Cuando intentaron calcular la longitud del arco de una lemniscata, encontraron problemas que involucraban integrales que contenían la raíz cuadrada de polinomios de grado 3 y 4. ^[13] Estaba claro que las llamadas integrales elípticas no podían resolverse usando funciones elementales. Fagnano observó una relación algebraica entre integrales elípticas, lo que publicó en 1750. ^[13] Euler inmediatamente generalizó los resultados de Fagnano y planteó su teorema de suma algebraica para integrales elípticas. ^[13]

Excepto por un comentario de Landen ^[14], sus ideas no fueron llevadas a cabo hasta 1786, cuando Legendre publicó su artículo Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse . ^[15] Legendre posteriormente estudió integrales elípticas y las llamó funciones elípticas . Legendre introdujo una clasificación triple –tres tipos– que supuso una simplificación crucial de la teoría bastante complicada de aquella época. Otras obras importantes de Legendre son: Mémoire sur les trascendentes elliptiques (1792), ^[16] Exercices de calcul intégral (1811–1817), ^[17] Traité des fonctions elliptiques (1825–1832). ^[18] El trabajo de Legendre permaneció prácticamente intacto por los matemáticos hasta 1826.

Posteriormente, Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi reanudaron las investigaciones y rápidamente descubrieron nuevos resultados. Al principio invirtieron la función integral elíptica. Siguiendo una sugerencia de Jacobi en 1829, estas funciones inversas ahora se denominan funciones elípticas . Una de las obras más importantes de Jacobi es Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum , que se publicó en 1829. ^[19] El teorema de la suma que encontró Euler fue planteado y demostrado en su forma general por Abel en 1829. Tenga en cuenta que en aquellos días la teoría de las funciones elípticas y la La teoría de las funciones doblemente periódicas se consideraban teorías diferentes. Fueron reunidos por Briot y Bouquet en 1856. ^[20] Gauss descubrió muchas de las propiedades de las funciones elípticas 30 años antes, pero nunca publicó nada sobre el tema. ^[21]

Ver también

• Integral elíptica
• Curva elíptica
• grupo modular
• función theta

Referencias

1. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 259, ISBN 978-3-540-32058-6
2. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 258, ISBN 978-3-540-32058-6
3. Jeremy Gray (2015), Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, págs. 118 y siguientes, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 260, ISBN 978-3-540-32058-6
5. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 262, ISBN 978-3-540-32058-6
6. K. Chandrasekharan (1985), Funciones elípticas (en alemán), Berlín: Springer-Verlag, p. 28, ISBN 0-387-15295-4
7. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 275, ISBN 978-3-540-32058-6
8. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 276, ISBN 978-3-540-32058-6
9. Gray, Jeremy (14 de octubre de 2015), Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, p. 74, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Gray, Jeremy (14 de octubre de 2015), Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, p. 75, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
11. Gray, Jeremy (14 de octubre de 2015), Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, p. 82, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
12. Gray, Jeremy (14 de octubre de 2015), Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, p. 81, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
13. Gray, Jeremy (2015). Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX. Cham. págs. 23 y sigs. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC  932002663.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
14. John Landen: una investigación de un teorema general para encontrar la longitud de cualquier arco de cualquier hipérbola cónica, mediante dos arcos elípticos, con algunos otros teoremas nuevos y útiles deducidos de allí. En: The Philosophical Transactions of the Royal Society of London 65 (1775), nr. XXVI, págs. 283–289, JSTOR  106197.
15. Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les intégrations par arcs d'ellipse. En: Histoire de l'Académie royale des sciences Paris (1788), págs. 616–643. – Ders.: Second mémoire sur les intégrations par arcs d'ellipse, et sur la comparaison de ces arcs. En: Histoire de l'Académie royale des sciences Paris (1788), págs. 644–683.
16. Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les trascendentes elípticas, où l'on donne des méthodes faciles pour comparer et évaluer ces tracendantes, qui comprennent les arcs d'ellipse, et qui se rencontrent frèquemment dans les apps du calcul intégral. Du Pont y Firmin-Didot, París 1792. Englische Übersetzung Una memoria sobre los trascendentales elípticos. En: Thomas Leybourn: Nueva serie del repositorio matemático . Banda 2. Glendinning, Londres 1809, Parte 3, págs. 1–34.
17. Adrien-Marie Legendre: Ejercicios de cálculo integral sobre diversos órdenes de trascendentes y sobre las cuadraturas. 3 bandas. (Banda 1, Banda 2, Banda 3). París 1811–1817.
18. Adrien-Marie Legendre: Tratado de funciones elípticas y de integrales eulériennes, con tablas para facilitar el cálculo numérico. 3 habitaciones. (Banda 1, Banda 2, Banda 3/1, Banda 3/2, Banda 3/3). Huzard-Courcier, París 1825–1832.
19. Carl Gustav Jacob Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Konigsberg 1829.
20. Gris, Jeremy (2015). Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX. Cham. pag. 122.ISBN​ 978-3-319-23715-2. OCLC  932002663.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
21. Gris, Jeremy (2015). Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX. Cham. pag. 96.ISBN​ 978-3-319-23715-2. OCLC  932002663.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Literatura

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 16". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. págs.567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253. Ver también el capítulo 18. (sólo considera el caso de invariantes reales).
• NI Akhiezer , Elementos de la teoría de las funciones elípticas , (1970) Moscú, traducido al inglés como AMS Translations of Mathematical Monographs Volumen 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2 
• Tom M. Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números , Springer-Verlag, Nueva York, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (consulte el capítulo 1). 
• ET Whittaker y GN Watson . Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press, 1952

enlaces externos

• "Función elíptica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• MAA, Traducción del artículo de Abel sobre funciones elípticas.
• Funciones elípticas e integrales elípticas en YouTube , conferencia de William A. Schwalm (4 horas)
• Johansson, Fredrik (2018). "Evaluación numérica de funciones elípticas, integrales elípticas y formas modulares". arXiv : 1806.06725 [cs.NA].