Axonometria

El proceso de proyectar un objeto tridimensional en un plano bidimensional.

Proyección arrogante de un arco de medio punto.

La axonometría es un procedimiento gráfico perteneciente a la geometría descriptiva que genera una imagen plana de un objeto tridimensional. El término "axonometría" significa "medir a lo largo de ejes " e indica que las dimensiones y la escala de los ejes de coordenadas juegan un papel crucial. El resultado de un procedimiento axonométrico es una proyección paralela del objeto a escala uniforme . En general, la proyección paralela resultante es oblicua (los rayos no son perpendiculares al plano de la imagen); pero en casos especiales el resultado es ortográfico (los rayos son perpendiculares al plano de la imagen), lo que en este contexto se denomina axonometría ortogonal .

En dibujo técnico y en arquitectura , la perspectiva axonométrica es una forma de representación bidimensional de objetos tridimensionales cuyo objetivo es preservar la impresión de volumen o relieve . A veces también llamada perspectiva rápida o perspectiva artificial, se diferencia de la perspectiva cónica y no representa lo que el ojo realmente ve: en particular, las líneas paralelas permanecen paralelas y los objetos distantes no reducen su tamaño. Se puede considerar una perspectiva cónica cuyo centro ha sido empujado hacia el infinito, es decir, muy lejos del objeto observado.

El término axonometría se utiliza tanto para el procedimiento gráfico que se describe a continuación, como para la imagen producida por este procedimiento.

No debe confundirse la axonometría con la proyección axonométrica , que en la literatura inglesa suele referirse a la axonometría ortogonal .

Principio de axonometría

El punto es la proyección de un punto sobre el plano de proyección Π . Los escorzos son , y . ${\displaystyle {\overline {P}}}$ ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle v_{z}}$

El teorema de Pohlke es la base del siguiente procedimiento para construir una proyección paralela escalada de un objeto tridimensional: ^{[1] [2]}

1. Seleccione proyecciones de los ejes de coordenadas, de modo que los tres ejes de coordenadas no estén colapsados ​​en un solo punto o línea. Normalmente el eje z es vertical.
2. Seleccione para estas proyecciones los escorzos , , y , donde ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle v_{z}}$ ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}>0.}$
3. La proyección de un punto se determina en tres subpasos (el resultado es independiente del orden de estos subpasos): ${\displaystyle {\overline {P}}}$ ${\displaystyle P=(x,y,z)}$
   • comenzando en el punto , muévase la cantidad en la dirección de , luego ${\displaystyle {\overline {O}}}$ ${\displaystyle v_{x}\cdot x}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$
   • moverse por la cantidad en la dirección de , luego ${\displaystyle v_{y}\cdot y}$ ${\displaystyle {\overline {y}}}$
   • moverse por la cantidad en la dirección de y finalmente ${\displaystyle v_{z}\cdot z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$
4. Marque la posición final como punto . ${\displaystyle {\overline {P}}}$

Para obtener resultados sin distorsiones, seleccione cuidadosamente las proyecciones de los ejes y los escorzos (ver más abajo). Para producir una proyección ortográfica , sólo se seleccionan libremente las proyecciones de los ejes de coordenadas; los escorzos son fijos (ver de:orthogonale Axonometrie). ^[3]

La elección de las imágenes de los ejes y los escorzos.

Parámetros y notaciones

Notación:

• ${\displaystyle \alpha :}$ángulo entre eje y eje ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$
• ${\displaystyle \beta :}$ángulo entre eje y eje ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {y}}}$
• ${\displaystyle \gamma :}$ángulo entre el eje y el eje. ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle {\overline {y}}}$

Los ángulos se pueden elegir de modo que Los escorzos : ${\displaystyle 0^{\circ }<\alpha +\beta <360^{\circ }\ .}$
${\displaystyle 0<\;v_{x},\;v_{y},\;v_{z}\ .}$

Sólo con una elección adecuada de ángulos y escorzos se obtienen imágenes sin distorsiones. El siguiente diagrama muestra las imágenes del cubo unitario en varios ángulos y escorzos y da algunas sugerencias sobre cómo tomar estas decisiones personales.

Varias imágenes axonométricas de un cubo unitario. (El plano de la imagen es paralelo al plano yz).
Las imágenes de la izquierda y del extremo derecho se parecen más a cuboides prolongados que a un cubo.

Axonometría (perspectiva caballerosa) de una casa sobre papel estampado a cuadros.

Para que el dibujo sea sencillo, conviene elegir escorzos sencillos, por ejemplo o . ${\displaystyle 1.0}$ ${\displaystyle 0.5}$

Si dos escorzos son iguales, la proyección se llama dimétrica .
Si los tres escorzos son iguales, la proyección se llama isométrica .
Si todos los escorzos son diferentes, la proyección se llama trimétrica .

Los parámetros en el diagrama de la derecha (por ejemplo, de la casa dibujada en papel cuadriculado) son: Por lo tanto, es una axonometría dimétrica . El plano de la imagen es paralelo al plano yz y cualquier figura plana paralela al plano yz aparece en su verdadera forma. ${\displaystyle \alpha =135^{\circ },\beta =90^{\circ },\ v_{y}=v_{z}=1,\;v_{x}=1/{\sqrt {2}}\ .}$

Axonometrías especiales

Parámetros de axonometrías especiales.

Proyección de ingeniero

En este caso ^{[4] [5]}

• los escorzos son: (axonometría dimétrica) y ${\displaystyle v_{x}=0.5,\ v_{y}=v_{z}=1\ }$
• los ángulos entre los ejes son: ${\displaystyle \alpha =132^{\circ },\ \beta =97^{\circ }\ .}$

Estos ángulos están marcados en muchas escuadras alemanas .

Ventajas de una proyección de ingeniero:

• escorzos simples,
• una proyección ortográfica de escala uniforme con un factor de escala de 1,06,
• el contorno de una esfera es un círculo (en general, una elipse).

Para más detalles: ver de:Axonometrie.

Perspectiva arrogante, perspectiva del gabinete.

• Plano de imagen paralelo al plano yz.

En la literatura, los términos "perspectiva arrogante" y "perspectiva de gabinete" no están definidos de manera uniforme. La definición anterior es la más general. A menudo se aplican restricciones adicionales. ^{[6] [7]} Por ejemplo:

perspectiva del gabinete: elija adicionalmente (oblicua) y (dimétrica), ${\displaystyle \alpha =135^{\circ }}$ ${\displaystyle v_{x}=0.5}$

Perspectiva arrogante: elija además (oblicua) e (isométrica). ${\displaystyle \alpha =135^{\circ }}$ ${\displaystyle v_{x}=1}$

Vista de pájaro, proyección militar.

• Plano de imagen paralelo al plano xy.

Proyección militar: elija adicionalmente (isométrica). ${\displaystyle v_{z}=1}$

Estas axonometrías se utilizan a menudo en mapas de ciudades para mantener las figuras horizontales sin distorsiones.

Axonometría isométrica

Isometría estándar: cubo, paralelepípedo, casa y esfera.

(No debe confundirse con una isometría entre espacios métricos).

Para una axonometría isométrica todos los escorzos son iguales. Los ángulos se pueden elegir arbitrariamente, pero una elección común es . ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =120^{\circ }}$

Para la isometría estándar o solo isometría se elige:

• ${\displaystyle v_{x}=v_{y}=v_{z}=1}$(todos los ejes sin distorsiones)
• ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =120^{\circ }\ .}$

La ventaja de una isometría estándar:

• las coordenadas se pueden tomar sin cambios,
• la imagen es una proyección ortográfica escalada con factor de escala . De ahí que la imagen tenga una buena impresión y el contorno de una esfera sea un círculo. ${\displaystyle {\sqrt {1.5}}=1.225}$
• Algunos sistemas de gráficos por computadora (por ejemplo, xfig ) proporcionan un ráster adecuado (ver diagrama) como soporte.

Para evitar la incrustación, se pueden optar por los poco prácticos escorzos

• ${\displaystyle v_{x}=v_{y}=v_{z}={\sqrt {2/3}}}$(en lugar de 1)

y la imagen es una proyección ortográfica (sin escala).

varias axonometrías de una torre
proyección militar dimétrica: , proyecciones dimétricas de ingeniería y caballero: , axonometría isométrica: ${\displaystyle v_{z}=0.5,v_{x,y}=1}$ ${\displaystyle v_{x}=0.5,v_{y,z}=1}$ ${\displaystyle v_{x,y,z}=1}$

Círculos en axonometría

Una proyección paralela de un círculo es en general una elipse. Un caso especial importante ocurre cuando el plano del círculo es paralelo al plano de la imagen: la imagen del círculo es entonces un círculo congruente. En el diagrama, el círculo contenido en la cara frontal no está distorsionado. Si la imagen de un círculo es una elipse, se pueden mapear cuatro puntos en diámetros ortogonales y el cuadrado de tangentes circundante y en el paralelogramo de la imagen completar una elipse a mano. Un método mejor, pero que requiere más tiempo, consiste en dibujar las imágenes de dos diámetros perpendiculares del círculo, que son diámetros conjugados de la elipse de la imagen, determinar los ejes de la elipse con la construcción de Rytz y dibujar la elipse .

• 
  Perspectiva arrogante: círculos
• 
  Proyección militar: esfera

Esferas en axonometría

En una axonometría general de una esfera, el contorno de la imagen es una elipse. El contorno de una esfera es un círculo sólo en una axonometría ortogonal . Pero, como la proyección de ingeniería y la isometría estándar son proyecciones ortográficas a escala, el contorno de una esfera también es un círculo en estos casos. Como muestra el diagrama, una elipse como contorno de una esfera puede resultar confusa, por lo que, si una esfera es parte de un objeto a mapear, se debe elegir una axonometría ortogonal, una proyección de ingeniero o una isometría estándar.

Referencias

• Graf, Ulrich; Barner, Martín (1961). Geometría de Darstellende . Heidelberg: Quelle & Meyer. ISBN 3-494-00488-9.
• Joder, Kirch Nickel (1998). Geometría de Darstellende . Leipzig: Fachbuch-Verlag. ISBN 3-446-00778-4.
• Leopold, Cornelie (2005). Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung . Stuttgart: Kohlhammer Verlag . ISBN 3-17-018489-X.
• Brailov, Aleksandr Yurievich (2016). Gráficos de ingeniería: fundamentos teóricos de la geometría de ingeniería para el diseño . Saltador. ISBN 978-3-319-29717-0.
• Stärk, Roland (1978). Geometría de Darstellende . Schöningh. ISBN 3-506-37443-5.

Notas

1. Graf 1961, pág. 144.
2. Stärk 1978, pag. 156.
3. Graf 1961, pág. 145.
4. Graf 1961, pág. 155.
5. Stärk 1978, pag. 168.
6. Graf 1961, pág. 95.
7. Stärk 1978, pag. 159.

enlaces externos

• Axonometría ortogonal