La construcción de Rytz.

Método para encontrar ejes y vértices de una elipse.

Construcción Rytz: inicio - fin

La construcción de ejes de Rytz es un método básico de geometría descriptiva para encontrar los ejes, el semieje mayor y el semieje menor y los vértices de una elipse , a partir de dos semidiámetros conjugados . Si se determinan el centro y el semieje de una elipse, la elipse se puede dibujar usando un elipsógrafo o a mano (ver elipse ).

La construcción de Rytz es una construcción clásica de la geometría euclidiana , en la que sólo se permiten como ayudas el compás y la regla . El diseño lleva el nombre de su inventor David Rytz de Brugg (1801–1868).

Los diámetros conjugados aparecen siempre si un círculo o una elipse se proyecta paralelamente (los rayos son paralelos) como imágenes de diámetros ortogonales de un círculo (ver segundo diagrama) o como imágenes de los ejes de una elipse. Una propiedad esencial de dos diámetros conjugados es: Las tangentes en los puntos de elipse de un diámetro son paralelas al segundo diámetro (ver segundo diagrama). ${\displaystyle d_{1},\;d_{2}}$

Cubo con círculos: proyección militar .

La construcción de Rytz en 6 pasos.
Dado: centro C y dos semidiámetros conjugados
CP, CQ de una elipse. buscado: los semiejes y los vértices de la elipse.

Planteamiento del problema y solución.

La proyección paralela (sesgada u ortográfica) de un círculo que en general es una elipse (se omite el caso especial de un segmento de línea como imagen). Una tarea fundamental en geometría descriptiva es dibujar una imagen de un círculo. El diagrama muestra una proyección militar de un cubo con 3 círculos en 3 caras del cubo. El plano de la imagen para una proyección militar es horizontal. Eso significa que el círculo en la parte superior aparece en su verdadera forma (como círculo). Las imágenes de los círculos en las otras dos caras son obviamente elipses con ejes desconocidos. Pero se reconocen en cualquier caso las imágenes de dos diámetros ortogonales de los círculos. Estos diámetros de las elipses ya no son ortogonales sino que, como imágenes de diámetros ortogonales del círculo, son conjugados (¡las tangentes en los puntos extremos de un diámetro son paralelas al otro diámetro!). Esta es una situación estándar en geometría descriptiva:

• De una elipse se conocen el centro y dos puntos de dos diámetros conjugados. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P,Q}$
• Tarea: encuentra los ejes y semiejes de la elipse.

Pasos de la construcción

(1) gire el punto 90 °. (2) Determine el centro del segmento de línea . (3) Dibuja la línea y el círculo con centro que pasa por . Intersecta el círculo y la línea. Los puntos de intersección son . (4) Las rectas y son los ejes de la elipse. (5) El segmento de línea puede considerarse como una tira de papel de longitud (ver elipse ) que genera un punto . Por tanto y son los semiejes . (Si entonces es el semieje mayor .) (6) Los vértices y co-vértices se conocen y la elipse se puede dibujar mediante uno de los métodos de dibujo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$
${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\overline {P'Q}}}$
${\displaystyle P'Q}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A,B}$
${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle CB}$
${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle a=|AQ|}$ ${\displaystyle b=|BQ|}$ ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle a}$

Si uno realiza un giro a la izquierda del punto , entonces la configuración muestra el método de la segunda tira de papel (consulte el segundo diagrama en la siguiente sección) y sigue siendo cierto. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle a=|AQ|}$ ${\displaystyle b=|BQ|}$

Prueba de la declaración

Rytz: prueba

La prueba estándar se realiza geométricamente. ^[1] Una prueba alternativa utiliza geometría analítica:

La prueba está hecha, si uno es capaz de demostrar que

• los puntos de intersección de la recta con los ejes de la elipse se encuentran en el círculo que pasa por el centro , por lo tanto y , y ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle P'Q}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle U=A}$ ${\displaystyle V=B}$ ${\displaystyle |UQ|=a,\quad |VQ|=b\ .}$

Prueba

(1): Cualquier elipse se puede representar paramétricamente en un sistema de coordenadas adecuado mediante

${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\;b\sin t)^{T}}$.

Dos puntos se encuentran en diámetros conjugados si (ver Elipse: diámetros conjugados ). ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{1}),\ {\vec {p}}(t_{2})}$ ${\displaystyle t_{2}-t_{1}=\pm {\tfrac {\pi }{2}}\ .}$

(2): Sean y ${\displaystyle Q=(a\cos t,\;b\sin t)}$

${\displaystyle P=(a\cos(t+{\tfrac {\pi }{2}}),\;b\sin(t+{\tfrac {\pi }{2}}))=(-a\sin t,b\cos t)}$

dos puntos en diámetros conjugados.

Entonces y el punto medio del segmento de recta es . ${\displaystyle P'=(b\cos t,a\sin t)}$ ${\displaystyle {\overline {P'Q}}}$ ${\displaystyle D=\left({\tfrac {a+b}{2}}\cos t,{\tfrac {a+b}{2}}\sin t\right)}$

(3): La línea tiene ecuación ${\displaystyle P'Q}$ ${\displaystyle x\sin t+y\cos t=(a+b)\;\cos t\sin t\ .}$

Los puntos de intersección de esta recta con los ejes de la elipse son

${\displaystyle U=\left(0,\;(a+b)\sin t\right)\ ,\quad V=\left((a+b)\cos t,\;0\right)\ .}$

Rytz: giro a la izquierda del punto ${\displaystyle P}$

(4): Debido a que los puntos se encuentran en el círculo con centro y radio ${\displaystyle |UD|=|VD|=|CD|}$ ${\displaystyle U,V,C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle |CD|\ .}$

Por eso ${\displaystyle A=U,\ B=V\ .}$

(5): ${\displaystyle |UQ|=a,\quad |VQ|=b\ .}$

La prueba utiliza un giro de punto a la derecha , lo que conduce a un diagrama que muestra el método de la primera tira de papel . ${\displaystyle P}$

Variaciones

Si se realiza un giro del punto a la izquierda , los resultados (4) y (5) siguen siendo válidos y la configuración muestra ahora el método de la segunda tira de papel (ver diagrama). Si uno usa , entonces la construcción y la prueba funcionan tampoco. ${\displaystyle P}$
${\displaystyle P=(a\cos(t{\color {red}-}{\tfrac {\pi }{2}}),\;b\sin(t{\color {red}-}{\tfrac {\pi }{2}}))=(a\sin t,-b\cos t)}$

Solución asistida por ordenador

Para encontrar los vértices de la elipse con ayuda de una computadora,

• Es necesario conocer las coordenadas de los tres puntos . ${\displaystyle C,P,Q}$

Una idea sencilla es: se puede escribir un programa que realice los pasos descritos anteriormente. Una mejor idea es utilizar la representación de una elipse arbitraria de forma paramétrica:

• ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\ .}$

Con (el centro) y (dos semidiámetros conjugados) se pueden calcular puntos y dibujar la elipse. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {OC}}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={\vec {CP}},\;{\vec {f}}_{2}={\vec {CQ}}}$

Si es necesario: Con uno se obtienen los cuatro vértices de la elipse: ${\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi )\ .}$

Referencias

• Rudolf Fucke; Konrad Kirch; Níquel Heinz (2007). Darstellende Geometrie für Ingenieure [ Geometría descriptiva para ingenieros ] (en alemán) (17ª ed.). Múnich: Carl Hanser. pag. 183.ISBN​ 978-3446411432. Consultado el 31 de mayo de 2013 .
• Klaus Ulshöfer; Dietrich Tilp (2010). "5: Ellipse als orthogonal-affines Bild des Hauptkreises " [5: "Ellipse como imagen afín ortogonal del círculo unitario"]. Darstellende Geometrie in systematischen Beispielen [ Geometría descriptiva en una colección sistemática de ejemplos ]. Übungen für die gymnasiale Oberstufe (en alemán) (1ª ed.). Bamberg: CC Buchner. ISBN 978-3-7661-6092-8.
• Alejandro Ostermann; Gerhard Wanner (2012). Geometría por su Historia. Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 68–69. ISBN 9783642291630.

1. Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle y Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9 , p.114 

enlaces externos

• animación de la construcción de Rytz