En geometría , dos objetos geométricos son perpendiculares si su intersección forma ángulos rectos ( ángulos de 90 grados o π/2 radianes de ancho) en el punto de intersección llamado pie . La condición de perpendicularidad se puede representar gráficamente usando el símbolo de perpendicular , ⟂. Las intersecciones perpendiculares pueden ocurrir entre dos líneas (o dos segmentos de línea), entre una línea y un plano, y entre dos planos.
La perpendicularidad es un ejemplo particular del concepto matemático más general de ortogonalidad ; La perpendicularidad es la ortogonalidad de los objetos geométricos clásicos. Así, en matemáticas avanzadas, la palabra "perpendicular" se utiliza a veces para describir condiciones de ortogonalidad geométrica mucho más complicadas, como la que existe entre una superficie y su vector normal .
Se dice que una recta es perpendicular a otra recta si ambas rectas se cortan formando un ángulo recto. [2] Explícitamente, una primera línea es perpendicular a una segunda línea si (1) las dos líneas se encuentran; y (2) en el punto de intersección, el ángulo recto de un lado de la primera línea es cortado por la segunda línea en dos ángulos congruentes . Se puede demostrar que la perpendicularidad es simétrica , es decir, si una primera línea es perpendicular a una segunda línea, entonces la segunda línea también es perpendicular a la primera. Por esta razón, podemos hablar de dos líneas como perpendiculares (entre sí) sin especificar un orden. Un gran ejemplo de perpendicularidad se puede ver en cualquier brújula, fíjate en los puntos cardinales; Norte, Este, Sur, Oeste (NESW) La línea NS es perpendicular a la línea WE y los ángulos NE, ES, SW y WN son todos de 90° entre sí.
La perpendicularidad se extiende fácilmente a segmentos y radios . Por ejemplo, un segmento de línea es perpendicular a un segmento de línea si, cuando cada uno se extiende en ambas direcciones para formar una línea infinita, estas dos líneas resultantes son perpendiculares en el sentido anterior. En símbolos, significa que el segmento AB es perpendicular al segmento CD. [3]
Se dice que una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del plano que intersecta. Esta definición depende de la definición de perpendicularidad entre líneas.
Se dice que dos planos en el espacio son perpendiculares si el ángulo diédrico en el que se encuentran es recto.
La palabra pie se utiliza frecuentemente en relación con las perpendiculares. Este uso se ejemplifica en el diagrama superior, arriba, y su título. El diagrama puede tener cualquier orientación. El pie no está necesariamente en la parte inferior.
Más precisamente, sea A un punto y m una recta. Si B es el punto de intersección de m y la única recta que pasa por A y que es perpendicular a m , entonces B se llama pie de esta perpendicular que pasa por A.
Para hacer la perpendicular a la línea AB que pasa por el punto P usando la construcción con compás y regla , proceda de la siguiente manera (ver figura a la izquierda):
Para demostrar que PQ es perpendicular a AB, utilice el teorema de congruencia SSS para QPA' y QPB' para concluir que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego usa el teorema de congruencia SAS para los triángulos OPA' y OPB' para concluir que los ángulos POA y POB son iguales.
Para trazar la perpendicular a la línea g en o a través del punto P usando el teorema de Tales , vea la animación a la derecha.
El teorema de Pitágoras se puede utilizar como base para métodos de construcción de ángulos rectos. Por ejemplo, al contar los eslabones, se pueden hacer tres trozos de cadena con longitudes en una proporción de 3:4:5. Estos se pueden disponer para formar un triángulo, que tendrá un ángulo recto opuesto a su lado más largo. Este método es útil para diseñar jardines y campos, donde las dimensiones son grandes y no se necesita una gran precisión. Las cadenas se pueden utilizar repetidamente cuando sea necesario.
Si dos líneas ( a y b ) son perpendiculares a una tercera línea ( c ), todos los ángulos formados a lo largo de la tercera línea son ángulos rectos. Por lo tanto, en geometría euclidiana , dos rectas cualesquiera que sean perpendiculares a una tercera recta son paralelas entre sí, debido al postulado de paralelas . Por el contrario, si una línea es perpendicular a una segunda línea, también es perpendicular a cualquier línea paralela a esa segunda línea.
En la figura de la derecha, todos los ángulos sombreados en naranja son congruentes entre sí y todos los ángulos sombreados en verde son congruentes entre sí, porque los ángulos verticales son congruentes y los ángulos internos alternos formados por líneas paralelas transversales son congruente. Por lo tanto, si las líneas a y b son paralelas, cualquiera de las siguientes conclusiones lleva a todas las demás:
En geometría , la distancia perpendicular entre dos objetos es la distancia de uno a otro, medida a lo largo de una línea que es perpendicular a uno o a ambos.
La distancia de un punto a una recta es la distancia al punto más cercano de esa recta. Ese es el punto en el que un segmento desde él hasta el punto dado es perpendicular a la línea.
Asimismo, la distancia de un punto a una curva se mide mediante un segmento de recta que es perpendicular a una recta tangente a la curva en el punto más cercano de la curva.
La distancia de un punto a un plano se mide como la longitud desde el punto a lo largo de un segmento que es perpendicular al plano, lo que significa que es perpendicular a todas las líneas del plano que pasan por el punto más cercano en el plano al punto dado. .
Otros casos incluyen:
La regresión perpendicular ajusta una línea a los puntos de datos minimizando la suma de las distancias perpendiculares al cuadrado desde los puntos de datos a la línea. Existen otros métodos de ajuste de curvas geométricas que utilizan la distancia perpendicular para medir la calidad de un ajuste, como en los mínimos cuadrados totales .
El concepto de distancia perpendicular puede generalizarse a
En el plano bidimensional, los ángulos rectos pueden estar formados por dos rectas intersecadas si el producto de sus pendientes es igual a −1. Así, para dos funciones lineales y , las gráficas de las funciones serán perpendiculares si
El producto escalar de vectores también se puede utilizar para obtener el mismo resultado: primero, cambie las coordenadas para que el origen esté situado donde se cruzan las líneas. Luego defina dos desplazamientos a lo largo de cada línea, para ahora, use el hecho de que el producto interno desaparece para vectores perpendiculares:
Ambas pruebas son válidas para rectas horizontales y verticales en la medida en que podemos dejar que una pendiente sea , y tomar el límite de que si una pendiente llega a cero, la otra llega al infinito.
Cada diámetro de un círculo es perpendicular a la línea tangente a ese círculo en el punto donde el diámetro cruza el círculo.
Un segmento de línea que pasa por el centro de un círculo que bisecta una cuerda es perpendicular a la cuerda.
Si la intersección de dos cuerdas perpendiculares divide una cuerda en longitudes a y b y divide la otra cuerda en longitudes c y d , entonces a 2 + b 2 + c 2 + d 2 es igual al cuadrado del diámetro. [4]
La suma de las longitudes al cuadrado de dos cuerdas perpendiculares cualesquiera que se intersectan en un punto dado es la misma que la de otras dos cuerdas perpendiculares que se cruzan en el mismo punto, y está dada por 8 r 2 – 4 p 2 (donde r es la longitud del círculo). radio y p es la distancia desde el punto central hasta el punto de intersección). [5]
El teorema de Tales establece que dos rectas que pasan por el mismo punto de un círculo pero que pasan por extremos opuestos de un diámetro son perpendiculares. Esto equivale a decir que cualquier diámetro de un círculo subtiende un ángulo recto en cualquier punto del círculo, excepto en los dos extremos del diámetro.
Los ejes mayor y menor de una elipse son perpendiculares entre sí y a las líneas tangentes a la elipse en los puntos donde los ejes se cruzan con la elipse.
El eje mayor de una elipse es perpendicular a la directriz y a cada lado recto .
En una parábola , el eje de simetría es perpendicular a cada uno de los lados recto, la directriz y la línea tangente en el punto donde el eje corta la parábola.
Desde un punto de la recta tangente al vértice de una parábola, la otra recta tangente a la parábola es perpendicular a la recta que va desde ese punto y pasa por el foco de la parábola .
La propiedad ortóptica de una parábola es que si dos tangentes a la parábola son perpendiculares entre sí, entonces se cortan en la directriz. Por el contrario, dos tangentes que se cortan en la directriz son perpendiculares. Esto implica que, vista desde cualquier punto de su directriz, cualquier parábola subtiende un ángulo recto.
El eje transversal de una hipérbola es perpendicular al eje conjugado y a cada directriz.
El producto de las distancias perpendiculares desde un punto P en una hipérbola o en su hipérbola conjugada a las asíntotas es una constante independiente de la ubicación de P.
Una hipérbola rectangular tiene asíntotas perpendiculares entre sí. Tiene una excentricidad igual a
Los catetos de un triángulo rectángulo son perpendiculares entre sí.
Las alturas de un triángulo son perpendiculares a sus respectivas bases . Las bisectrices perpendiculares de los lados también juegan un papel destacado en la geometría del triángulo.
La recta de Euler de un triángulo isósceles es perpendicular a la base del triángulo.
El teorema de la línea de Droz-Farny se refiere a la propiedad de dos líneas perpendiculares que se cruzan en el ortocentro de un triángulo .
El teorema de Harcourt se refiere a la relación entre los segmentos de recta que pasan por un vértice y son perpendiculares a cualquier recta tangente a la circunferencia del triángulo .
En un cuadrado u otro rectángulo , todos los pares de lados adyacentes son perpendiculares. Un trapezoide recto es un trapezoide que tiene dos pares de lados adyacentes que son perpendiculares.
Cada una de las cuatro maltitudes de un cuadrilátero es perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del lado opuesto.
Un cuadrilátero ortodiagonal es un cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares. Estos incluyen el cuadrado , el rombo y la cometa . Según el teorema de Brahmagupta , en un cuadrilátero ortodiagonal que también es cíclico , una recta que pasa por el punto medio de un lado y por el punto de intersección de las diagonales es perpendicular al lado opuesto.
Según el teorema de van Aubel , si los cuadrados se construyen externamente en los lados de un cuadrilátero, los segmentos de línea que conectan los centros de los cuadrados opuestos son perpendiculares y de igual longitud.
Hasta tres líneas en el espacio tridimensional pueden ser perpendiculares por pares, como lo ejemplifican los ejes x, y y z de un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional .
