Quinto postulado de Euclides

Siglos más tarde un italiano, Girolamo Saccheri, continuó con el intento (por los años posteriores a 1700).[3]​ Inicialmente tuvo mucho éxito llegando a un absurdo al partir que los otros dos ángulos del "cuadrilátero de Saccheri" eran obtusos.De todas formas, dado que es más sencillo para nuestro propósito, consideraremos la definición dada por Arquímedes en "Sobre la esfera y el cilindro": la recta es la más corta de todas las líneas que tienen los mismos extremos.En el siglo XIX se da conclusión al problema de la independencia del V postulado.Lo hacen de manera independiente Bolyai y Lobachevsky, aunque Gauss ya había resuelto el problema con anterioridad (no había publicado sus resultados, y la paternidad del descubrimiento fue para los otros dos geómetras).En contra de lo que pudiera pensarse, con este método no se llegó a contradicción alguna.Además hay diferentes formas de negar el V postulado (por un punto exterior a una recta no pasa una única recta paralela a la misma) y así diferentes geometrías no euclidianas: por ejemplo, si decimos que no pasa ninguna recta, se obtiene la geometría esférica, que ya hemos presentado, y si decimos que pasan infinitas, se obtiene la geometría hiperbólica, la de Lobachevsky.La cuestión sobre el V postulado quedó relegada a un problema histórico, que contribuyó enormemente al desarrollo de la geometría, pero que actualmente parece ya no seguir contribuyendo en ese sentido, y es tomado como un tema introductorio en el estudio de la geometría.Estos trabajos resultaron infructuosos, precisamente porque el quinto postulado no es una consecuencia de los mismos.Más tarde, se comprobó que entre los papeles no publicados de Carl Friedrich Gauss existía una tercera construcción de la geometría hiperbólica, que no llegó a publicar nunca.