Geometría hiperbólica

Donde: Más adelante Carl Friedrich Gauss trabajó en un modelo similar pero no publicó sus resultados.

En forma similar, la recta m que forma el mismo ángulo theta entre PB y ella misma, pero ahora en sentido de las manecillas del reloj desde PB, también será hiperparalela, pero no pueden haber otras.

En la geometría hiperbólica, el ángulo de paralelismo varía con la que es llamada la función Π(p).

Esta función, descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produce un ángulo único de paralelismo para cada longitud dada BP.

Si la longitud BP incrementa sin límites, el ángulo de paralelismo se acercará a cero.

En la geometría hiperbólica esta suma es siempre menor de 180°, siendo la diferencia proporcional al área del triángulo.

Podría muy bien suceder que la geometría hiperbólica fuera realmente verdadera en nuestro mundo a escala cosmológica.

Sin embargo, la constante de proporcionalidad entre el déficit de ángulo para un triángulo y su área tendría que ser extraodinariamente pequeña en este caso, y la geometría euclídea sería una excelente aproximación a esta geometría para cualquier escala ordinaria.