Geometría euclidiana
Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides.
También es común (abusando del lenguaje) decir que una geometría es euclidiana si no es no euclidiana, es decir, si en dicha geometría se verifica el quinto postulado de Euclides.
Los Elementos comienza con la geometría plana, que aún se enseña en la escuela secundaria (bachillerato) como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de demostraciones matemáticas y geometría sólida de tres dimensiones.
Rápidamente se reconoció su mejora con respecto a los tratamientos anteriores, con el resultado de que hubo poco interés en conservar los anteriores, y ahora están casi todos perdidos.
Desde el siglo XIX, se hicieron esfuerzos por definir explícitamente todas las asunciones necesarias para desarrollar rigurosamente la geometría sin supuestos implícitos.
Además esta axiomatización no asume que el plano euclídeo sea
Si bien durante el siglo XIX se consideró a las geometrías no euclidianas un artefacto matemáticamente interesante e incluso con cierto interés práctico, pero limitado, como es el caso de la trigonometría esférica usada en astronomía, en cierto modo se admitió que la geometría del espacio físico era euclidiana y, por tanto, las geometrías no euclidianas eran tan solo un artificio abstracto útil para ciertos problemas, pero en modo alguno descripciones realistas del mundo.
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[10] Estos se definen gracias a la semirrecta que comparte el mismo vértice, la semirrecta apunta en dirección entre el vértice con una inclinación creando dos ángulos, la suma de los ángulos obtenidos es de 180 grados sexagesimales.
La cantidad de semirrectas que caben entre el espacio división del vértice es infinita.
Actualmente la terminología que se usa para medir el ángulo esta entre grados y radianes.
números, y Euclides evitó tales productos, aunque están implícitos, por ejemplo, en la demostración del libro IX, proposición 20.
Alternativamente, dos figuras son congruentes si una se puede mover encima de la otra para que coincida exactamente.
Arquímedes (c. 287 a. C.-c. 212 a. C.), una figura colorida sobre la que se registran muchas anécdotas históricas, es recordado junto con Euclides como uno de los más grandes matemáticos antiguos.
Muchos intentaron en vano probar el quinto postulado de los primeros cuatro.
Para 1763, se habían publicado al menos 28 pruebas diferentes, pero todas resultaron incorrectas.
Posteriormente se entendió que los cuaterniones son también un sistema geométrico euclidiano con cuatro coordenadas cartesianas racionales.
Cayley usó cuaterniones para estudiar las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones.
4 politopos convexos regulares Schläfli realizó este trabajo en una relativa oscuridad y se publicó en su totalidad solo póstumamente en 1901.
Tuvo poca influencia hasta que fue redescubierto y completamente documentado en 1948 por HSM Coxeter.
Si bien la formulación de Euclides explicitaba cinco axiomas, usaba otras nociones intuitivas que no definían.
Por ejemplo, Euclides asumió implícitamente que cualquier línea contiene al menos dos puntos, pero esta suposición no puede probarse a partir de los otros axiomas y, por lo tanto, debe ser un axioma en sí mismo.
Por ejemplo, si un triángulo se construye con tres rayos de luz, entonces, en general, los ángulos interiores no suman 180 grados debido a la gravedad.
Más tarde fueron verificados por observaciones tales como la ligera desviación de la luz de las estrellas por parte del Sol durante un eclipse solar en 1919, y tales consideraciones son ahora una parte integral del software que ejecuta el sistema GPS.
Sin embargo, normalmente no hacía tales distinciones a menos que fueran necesarias.
Los postulados no se refieren explícitamente a líneas infinitas, aunque, por ejemplo, algunos comentaristas interpretan el postulado 3, existencia de un círculo con cualquier radio, como implicando que el espacio es infinito.
Los comentaristas antiguos posteriores, como Proclo (410–485 d. C.), trataron muchas preguntas sobre el infinito como cuestiones que exigían prueba y, por ejemplo, Proclo afirmó probar la divisibilidad infinita de una línea, basándose en una prueba por contradicción en la que consideró los casos.
A principios del siglo XX, Otto Stolz, Paul du Bois-Reymond, Giuseppe Veronese y otros produjeron un trabajo controvertido sobre modelos no arquimedianos de la geometría euclidiana, en los que la distancia entre dos puntos puede ser infinita o infinitesimal, en el Newton – Sentido de Leibniz.
Cincuenta años después, Abraham Robinson proporcionó una base lógica rigurosa para el trabajo de Veronese.
Aunque desde el punto de vista lingüístico ambas formas tienen el mismo significado, hacer referencia a algo perteneciente o relativo al matemático griego Euclides, la Real Academia Española solo adopta como correcta la palabra «euclidiano», mientras que no recoge «euclídeo».
