Fue introducido en 1862 por B. Riemann y desarrollado en 1869 por E. B. Christoffel como una forma de describir completamente la curvatura en cualquier número de dimensiones mediante un "pequeño monstruo": un tensor de tipo (1,3) representado generalmente por el símbolo
Aunque en 2 dimensiones la curvatura puede representarse por un escalar en cada punto (o tensor de orden cero), tal como hacía la curvatura de Gauss, la geometría de variedades de Riemann con dimensión mayor o igual que 3 es demasiado compleja como para describirla totalmente por un número en un punto dado.
Da lugar a efectos observables de la curvatura en las fuerzas de marea que aparecen en relatividad general.
Esta definición nos lleva a representar la curvatura es como un tensor (1,3)-valente.
En geometría de Riemann, la valencia de este tensor se puede alterar: a menudo usaremos una representación equivalente como tensor (0,4).
Aunque sea la definición que aparece con más frecuencia, el operador
, definida como una sección del fibrado tangente, y su base dual
las coordenadas del tensor de curvatura vienen dadas por:
En un sistema de coordenadas asociada a una carta local
son los campos vectoriales asociados a cada una de las coordenadas y que juntos constituyen una base natural.
podrá utilizarse para subir o bajar índices del tensor de curvatura.
Existen distintas definiciones de este tensor, equivalentes salvo en signo, lo que nos obliga a tener que determinar en cada caso la convención de signo del autor.
[1] La conexión matemática de una variedad diferenciable y fijada una base del espacio tangente en cada punto
que satisfacen la siguiente relación con la derivada covariante:
Es decir el tensor de Riemann da las desviaciones de la métrica respecto a la métrica euclídea plana hasta segundo orden.
El operador R puede ser entendido de otra manera.
Entonces el transporte paralelo alrededor de este lazo da lugar a una transformación del espacio tangente.
Ésta es una transformación infinitesimal del espacio tangente, que se puede representar por un elemento del álgebra de Lie correspondiente al grupo de Lie de todas las transformaciones lineales del espacio tangente.
es la dimensión de la variedad donde está definido, las tres primeras relaciones reducen el número de componentes independientes a
En dimensiones 2, 3 y 4, el número de componentes independientes será 1, 6, 20.
Del mismo modo que para hacer más tratable una función bilineal la estudiamos al aplicarla a dos vectores iguales (su forma cuadrática asociada), para estudiar un tensor de cuarto orden como el de curvatura podemos intentar aplicarlo sobre el mínimo número de vectores distintos.
del mismo, se demuestra que la cantidad[2] no depende de la base escogida.
Así, podemos decir que K solo depende de
y recibe el nombre de curvatura seccional del plano
Además, se llama curvatura escalar, que suele designarse con las letras R o s, a la función que se obtiene por contracción métrica de los dos índices del tensor de Ricci: Si calculamos la contracción usando una base ortonormal
En más dimensiones, el tensor pleno de curvatura contiene más información que la curvatura de Ricci.
Eso significa que, para un número de dimensiones n < 4, el tensor de curvatura queda completamente especificado si se conoce el tensor de Ricci, no ocurriendo así para n > 3.
donde Ric es la versión (0, 2)-valente de la curvatura de Ricci, s es la curvatura escalar y g es el tensor métrico (0, 2)-valente y
Donde: Si g'=fg para una cierta función escalar - el cambio conforme de la métrica - entonces W'=fW.
Para curvatura constante, el tensor de Weyl es cero.