Una variedad conforme es una variedad pseudoriemanniana equipada con una clase de equivalencia de tensores métricos, en la que dos métricas g y h son equivalentes si y solo si se cumple que: donde λ es una función infinitamente diferenciable de valor real definida en la variedad y se denomina factor conforme.Cuando es necesario distinguir estos casos, a este último caso se le llama localmente conformemente plano, aunque a menudo en la bibliografía no se mantiene ninguna distinción.A pesar de estas diferencias, la geometría conforme todavía es manejable.El plano de Minkowski bidimensional compactado exhibe simetría conforme extensiva.A la inversa, dado cualquier par de funciones con valores reales, existe un campo vectorial X que satisface las condiciones 1 y 2.En el caso euclidiano, la condición de libertad está basada en una única función holomorfa.A menos que se desprenda lo contrario del contexto, este artículo trata el caso de la geometría conforme euclidiana en el entendido de que también se aplica, mutatis mutandis, a la situación pseudoeuclidiana.Por el teorema de Liouville, cualquier transformación local (conforme) que preserve los ángulos tiene esta forma.En una construcción relacionada, la cuádrica S se considera la esfera celeste, en el infinito del cono nulo en el espacio de Minkowski Rn+1,1, que está equipado con la forma cuadrática q como se indicó anteriormente.Entonces, la proyección tautológica Rn+1,1 \ {0} → P(Rn+2) se restringe a una proyección N+ → S. Esto le da a N+ la estructura de un haz lineal sobre S. Las transformaciones conformes en S son inducidas por la transformación ortocrona de Lorentz de Rn+1,1, ya que son transformaciones lineales homogéneas que preservan el futuro cono nulo.La esfera unitaria euclídea es el lugar geométrico en 'Rn+1 tal que Esto se puede asignar al espacio de Minkowski Rn+1,1 dejando Se ve fácilmente que la imagen de la esfera bajo esta transformación es nula en el espacio de Minkowski, por lo que se encuentra en el cono N+.Por consiguiente, determina una sección transversal del haz de líneas N+ → S. Sin embargo, se realizó una elección arbitraria.Si κ(x) es cualquier función positiva de x= (z, x0, ..., xn), entonces la asignación también proporciona una aplicación en N+.Supóngase que la n-esfera euclídea S lleva asociado un sistema de coordenadas estereográficas.Usando la incrustación dada arriba, la sección métrica representativa del cono nulo es Ahora, se introduce una nueva variable t correspondiente a dilataciones hasta N+, de modo que las coordenadas del cono nulo resultan según las expresiones siguientes: Finalmente, sea ρ la siguiente función definitoria de N+: En las coordenadas t, ρ, y en Rn+1,1, la métrica de Minkowski toma la forma: donde gij es la métrica de la esfera.Esto produce la siguiente representación de la métrica conforme en S: Considérese primero el caso de la geometría conforme plana según la signatura métrica euclídea.Debe tenerse en cuenta que tanto el espacio modelo euclídeo como el pseudoeuclídeo son compactos.Para describir los grupos y álgebras involucradas en el espacio modelo plano, debe fijarse la siguiente fórmula en Rp+1,q+1: donde J es una forma cuadrática de signatura (p, q).
Ejemplo de transformación conforme
Una cuadrícula de coordenadas antes de una transformación de Möbius
La misma cuadrícula después de una transformación de Möbius
