Espacio homogéneo
Más precisamente, un espacio homogéneo para un grupo G es una variedad no vacía o un espacio topológico X sobre el que G actúa transitivamente.
En este caso, X es homogéneo si intuitivamente parece localmente igual en cada punto, ya sea en el sentido de las isometrías (geometría rígida), los difeomorfismos (geometría diferencial) u los homeomorfismos (topología).
Algunos autores insisten en que la acción de G sea fiel (los elementos que no son la identidad actúan de manera no trivial), aunque en el presente artículo no se hace.
Sea X un conjunto no vacío y G un grupo.
[1] Téngase en cuenta que automáticamente G actúa mediante automorfismos (biyecciones) en el conjunto.
Si X además pertenece a alguna categoría, entonces se supone que los elementos de G actúan como automorfismos en la misma categoría.
Es decir, las aplicaciones en X provenientes de elementos de G conservan la estructura asociada con la categoría (por ejemplo, si X es un objeto difeomorfo, entonces la acción debe ser realizada por un difeomorfismo).
De manera similar, si X es una variedad diferenciable, entonces los elementos del grupo son difeomorfos.
Es simple demostrar en álgebra lineal que GL4 actúa transitivamente sobre ellos.
Por el contrario, dado un espacio lateral G/H, es un espacio homogéneo para G con un punto distinguido, a saber, la clase lateral de la identidad.
Por ejemplo, si H es el subgrupo de identidad {e}, entonces X es un G-torsor, lo que explica por qué los G-torsores a menudo se describen intuitivamente como "
En general, una elección diferente del origen o conducirá a un cociente de G por un subgrupo diferente Ho′ que está relacionado con Ho por un automorfismo interno de G. Específicamente,
Téngase en cuenta que el automorfismo interno (1) no depende de qué g se seleccione; depende solo del módulo g Ho.
Dado que las coordenadas homogéneas dadas por los menores son 6, esto significa que estos últimos no son independientes entre sí.
De hecho, existe una única relación cuadrática entre los seis menores, como sabían los geómetras del siglo XIX.
La idea de espacio vectorial prehomogéneo fue introducida por Mikio Satō.
La definición es más restrictiva de lo que parece inicialmente: dichos espacios tienen propiedades notables y existe una clasificación de espacios vectoriales prehomogéneos irreducibles, hasta una transformación conocida como "enroque".
, las "constantes de estructura", forman un tensor constante antisimétrico en sus dos índices inferiores (en el lado izquierdo, los corchetes denotan antisimetrización y ";" representa el operador diferencial covariante).
En el caso de un universo isotrópico plano, una posibilidad es que
