Grupo de isometría
Dado un subconjunto de X, como por ejemplo una figura geométrica F, se define de manera análoga el grupo de isometría de F como el subgrupo de Isom(X) formado por las isometrías que dejan invariante el subconjunto F. Las isometrías son transformaciones que preservan las distancias entre puntos.
Es decir, si d(x,y) es la distancia entre los puntos x e y del espacio X, una isometría de X es una función f que satisface la condición para cualquier par de puntos arbitrarios.
La función identidad es siempre una isometría que sirve como elemento neutro.
Por tanto, forman un tipo de estructura algebraica conocido como grupo.
El grupo de isometría de una espacio X es un subgrupo del grupo simétrico de X, que contiene a todas la biyecciones, y no solo a aquellas que preservan la distancia.
Algunas isometrías usuales son las traslaciones, las rotaciones y las reflexiones, y también las combinaciones de estas.
podemos definir varias operaciones que no alteran las distancias.
Así por ejemplo si consideramos un objeto dentro del espacio euclídeo podemos transportarlo a otra posición y cambiar su orientación.
Así el grupo de isometría está formado por: A estas transformaciones podemos sumarle una transformación más abstracta que no podemos realizar con objetos físicos reales pero sí abstractametne sobre conjuntos del espacio, formada por: El conjunto de todas las rotaciones y reflexiones forma un subgrupo muy importante del grupo de isometrías, llamado grupo ortonormal y designado como
Matricialmente el grupo de simetría del espacio euclídeo
Si el conjunto es acotado entonces se tiene necesariamente:
Si una figura geométrica es finita, es decir, forma un conjunto acotado del espacio euclídeo, entonces el grupo de isometría no incluye ninguna traslación y por tanto su grupo de isometría es un subgrupo del espacio
El grupo de isometría de un polígono regular de n lados está formado por n rotaciones y n reflexiones, llamado grupo diédrico
y cualquier simetría de un círculo centrado en el origen puede ser representado por una matriz de la forma:
La distancia en ciertos espacios métricos puede definirse a partir de la norma inducida por un producto interno o forma cuadrática métrica.
Eso permite generalizar el concepto de isometría incluso a espacios que no tienen una distancia bien definida, como las variedades pseudoriemannianas.
En una variedad pseudoriemanniana una isometría es una transformación o aplicación que mantiene el producto interno de dos vectores.
En la teoría de la relatividad un espacio-tiempo se representa por una variedad pseudoriemanniana.
