Polígono regular
En geometría plana, se denomina polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí.
Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.
Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.
, ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).
Observando la imagen, es posible deducir que: Sustituyendo el lado: Finalmente: Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.
Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que: donde el ángulo central es: sabiendo que el área de un polígono es: y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos: ordenando tenemos: sabiendo que: resulta: o lo que es lo mismo: Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.
si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera: Sea
el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r": El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente: Despejando la apotema tenemos: Sustituimos la apotema por su valor: Se puede ver en el dibujo que
viene dada por O bien, en función del circunradio, Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento: Según el razonamiento tendremos que: La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.
Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto: que resulta: de donde deducimos que: Sabiendo el valor del ángulo central: La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.
Esto se cumple cuando el ángulo theta opuesto al lado del polígono inscrito o circunscrito, cumple con el siguiente criterio: θ = 180°/n , siendo n el número de lados del polígono y debe ser un número entero mayor que 2.
