Teorema de Pitágoras

Este teorema se puede escribir como una ecuación que relaciona las longitudes de los lados 'a', 'b' y 'c'.

Respecto de los babilonios hay esta nota: Existe un debate sobre si el teorema de Pitágoras se descubrió una vez, o muchas veces en muchos lugares, y la fecha del primer descubrimiento es incierta, al igual que la fecha de la primera demostración.

Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación.

[7]​ La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

[cita requerida] Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones.

Por ejemplo, el matemático estadounidense E. S. Loomis catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.

Es decir: Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño.

Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares.

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

, por lo que finalmente resulta: Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Si ahora buscamos la relación entre sus superficies: obtenemos después de simplificar que: pero siendo

, así que: y por lo tanto: quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Ante esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.

La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos, iguales dos a dos: Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ABD en ACK.

Haciendosé razonamientos similares con los triángulos ABg y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que estos últimos tienen asimismo áreas iguales.

Unos 625 años después que Euclides, Pappus[13]​ parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en la proposición I.36[10]​ de Los Elementos de Euclides: Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes: Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA: Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.

Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.

Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes.

Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales– las superficies que restan forzosamente serán iguales.

James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo presidente de los Estados Unidos,[14]​ desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.

[15]​ Si en un triángulo ABC, siendo el lado mayor a se cumple que

[16]​ Un triple pitagórico tiene tres enteros positivos a, b y c, tales que a2 + b2 = c2..

Un triple pitagórico primitivo es aquel en el que a, b y c son coprimos, es decir, que el máximo común divisor de a, b y c es 1.

La siguiente es una lista de triples pitagóricos primitivos con valores inferiores a 100: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97) Dado un triángulo rectángulo con lados

donde los denominadores son cuadrados y también para un triángulo heptagonal cuyos lados

No está claramente establecido si éste fue obra del Maestro o de sus discípulos, ya que los pitagóricos fueron grandes matemáticos que acostumbraban a atribuir a Pitágoras todos sus descubrimientos.

Demostración gráfica del teorema de Pitágoras- Taller escolar.
Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.
Prueba animada del teorema de Pitágoras.
Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.
La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema.
Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.
Figura Euclides 1 : La proposición I.41 [ 9 ] ​ de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de los triángulos: sus bases son la misma –DC-, y están entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita Euclides para demostrar el teorema de Pitágoras.
Figura Euclides 2 : La proposición I.36 [ 10 ] ​ de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.
Figura Euclides 3 : La demostración de Euclides es puramente geométrica. Su columna vertebral es la sencilla proposición I.41 [ 9 ] ​ de Los Elementos .
La proposición I.36 [ 10 ] ​ de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.
La demostración de Pappus parece ser unas musicales variaciones sobre un mismo tema, respecto a la de Euclides.
Bhaskara desarrolla una demostración gráfica y algebraica del teorema de Pitágoras.
El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos iguales al ABC: el ECF y el HIJ.
El polígono construido por Garfield es un trapecio de bases a y b, compuesto por tres triángulos rectángulos.