Teorema del seno
Usualmente se presenta de la siguiente forma: Teorema de los senosSi en un triángulo ABC, con respectivos ángulos internos α, β y γ, cuyas medidas de los lados opuestos son a, b, c, entonces:
Según Ubiratàn D'Ambrosio y Helaine Selin, la ley esférica de los senos fue descubierta en el siglo X.
Ha sido indistintamente atribuido a Abu-Mahmud Khojandi, Abu al-Wafa' Buzjani, Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur.
[3] La ley plana de los senos fue descrita más tarde en el siglo XIII por Nasīr al-Dīn al-Tūsī.
En su Sobre la figura del sector, declaró la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, y proporcionó las pruebas de esta ley.
[4] Según Glen Van Brummelen, «La ley de los senos está en realidad basada en Johann Regiomontanus, en sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones fueron a su vez las bases de sus soluciones de los triángulos generales.»[5] Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita.
Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PCB es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son congruentes, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz).
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece: Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:
El teorema de los senos es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y cualquiera de los tres lados.
También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.
Puede ser empleado la ley de los senos, con reajustes circunstanciales, en: Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a.
