En matemáticas, las funciones trigonométricas son funciones determinadas con el objetivo de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Estas usualmente incluyen términos que describen la medición de ángulos y triángulos, tal como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Las funciones trigonométricas se pueden definir como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos.

Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad).

Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes.

La siguiente tabla resume los valores algebraicos más simples y/o comunes de las funciones trigonométricas.

[1]​ El símbolo ∞ representa el punto del infinito en la línea real proyectada extendida; la cual no tiene signo, porque, cuando aparece en la tabla, la función trigonométrica correspondiente tiende a +∞ en un lado y a −∞ en el otro lado, cuando el argumento tiende al valor en la tabla.

Autor Enfer Diez [2]​ No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de

Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano.

el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.

Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica.

: Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera: Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que: Y para el caso alternativo: La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales.

Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo.

(Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes).

A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por: Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno.

Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno.

Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler.

Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.

Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = −y implica que son funciones propias del operador de la segunda derivada.

La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal

Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial.

Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales.

El primer uso de la función seno (sen(·)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca.

Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante.

Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos.

Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.