donde P y Q son polinomios en la variable
, y siendo Q distinto del polinomio nulo, esta fracción es irreducible, es decir que las ecuaciones P(x) = 0 y Q(x) = 0 carecen de raíces comunes.
Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables:
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.
Podría decirse, las raíces de una función racional son las raíces del polinomio del numerador P(x).
, definida en todos los números reales menos el -3, tiene como raíces a los valores donde
Las asíntotas verticales son rectas de la forma x=a.
En una función racional, las asíntotas verticales están determinadas por los valores que anulan el denominador.
Las asíntotas horizontales son rectas de la forma
En una función racional, las asíntotas horizontales están determinadas de la siguiente forma: Sea siendo P(x) y Q(x) polinomios y Q(x) no es nulo.
Una función homografica es un tipo de función racional, donde el numerador es un polinomio de grado menor o igual que 1 y el denominador es un polinomio de grado uno.
Es decir, una función de la forma: siendo a, b, c, d números reales y c es no nulo.
Si el denominador es distinto de cero y si ad ≠ bc, su gráfica corresponde a una hipérbola .
Notar que si a=0, entonces la función racional no tiene raíces.
Como el denominador es una función lineal, hay un solo valor que lo anula, y es x=-d/c.
no nulo, entonces la función tiene una asíntota horizontal de ecuación
Otra forma en la que pueden presentarse las funciones homograficas son la siguiente: donde
A partir de esa expresión, se pueden leer más fácilmente los elementos de la función para hacer su gráfico.
Hagamos una lectura previa de esa expresión con lo que ya sabemos.
es negativo), por lo tanto, también desplazara a su asíntota horizontal.
La asíntota vertical se va a mantener ya que el dominio sigue siendo el mismo cuando sumemos
Por lo tanto, siempre tendremos asíntota horizontal en
En este caso, si la función tiene asíntota horizontal en y=B, tenemos que
ya que la función nunca toca a la asíntota (y toma el valor B).
Si B=0 entonces la ecuación de la asíntota horizontal es y=0, por lo tanto, la función se acerca al eje x sin tocarlo.
La función es positiva cuando A y (x-C) tienen el mismo signo.
, entonces la asíntota horizontal no es el eje x sino
, por lo cual esta por encima o por debajo del eje, la asíntota vertical es
Dada una función racional: Si el denominador es un polinómico mónico
con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles: Si