Hipérbola
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por el geómetra y matemático griego Menecmo (380 a. c.-320 a. c.), en su estudio del problema de la duplicación del cubo,[3] mediante el cual demostró la existencia de una solución usando el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por los también geómetras Proclo y Eratóstenes.
La hipérbola cuyo centro se halla en el origen de coordenadas
, representan a los semiejes transverso, conjugado y focal, respectivamente.
y la (2) para aquellas que lo son respecto al eje
En cualquier caso, la relación entre los tres semiejes viene dada por la igualdad: (3)
Sin embargo, se debe advertir que, a diferencia del caso de la elipse, no necesariamente
Como en el caso anterior, la ecuación asume una de las siguientes formas: (4)
representa la mitad de la distancia del eje focal.
representa la mitad de la distancia del eje mayor.
son de signos diferentes, no nulos y
, entonces (5) representa la ecuación general de una hipérbola cuyos ejes son paralelos o colineales a los ejes coordenados o un par de rectas que se cortan.
Mediante la completación de cuadrados se reescribe la ecuación anterior como: (7)
Ahora se convierten los trinomios de la izquierda en binomios notables: (8)
Se convierte el término de la derecha a una constante denominada
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos
, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea
) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal: Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.
Hipérbola abierta de derecha a izquierda: o
En particular podemos graficar una parte de cada rama usando cualquier intervalo:
son las abcisa y ordenada, respectivamente, del centro de la hipérbola,
Para determinar los parámetros focales de una hipérbola equilátera definida según la ecuación: se puede aplicar una operación matricial que permite modificar las coordenadas de un conjunto de puntos del plano cuando se les aplica un giro
está girada con respecto al eje x según un ángulo
, la transformación pasa a ser: Operando la matriz, resulta: Calculando
Es el segmento rectilineo que pasa por el centro de la hipérbola y que es perpendicular o normal al eje transversal y cuya longitud es de
Son las rectas que se intersecan en el centro de la hipérbola y se acercan a las ramas al alejarse estas del centro de la hipérbola.
Las asíntotas de las hipérbolas representadas por las ecuaciones (4) y (5) son expresadas, respectivamente, igualando estas a cero, como sigue:[7]
son los extremos de una cuerda perpendicular al eje focal, entonces el área es:[8]
Dado un ángulo, primero se dibuja un círculo centrado en su vértice O, que interseca los lados del ángulo en los puntos A y B.
Sea P la intersección (superior) de la hipérbola con el círculo.
Para probar esto, reflejar el segmento OP sobre la línea
