Cuadratura del círculo

La tarea geométrica consiste en construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado mediante un número finito de pasos.

El término cuadrar el círculo se ha convertido en una metáfora en muchos idiomas para describir una tarea sin solución.

Dichas soluciones se obtuvieron empíricamente y estaban destinadas a la práctica, sin más consideraciones teóricas.

[2]​ Los primeros procedimientos deductivos basados en las matemáticas, en los que las demostraciones estaban respaldadas por teoremas se desarrollaron a partir del siglo VI a. C. en Grecia.

[7]​[8]​ Según el escritor griego Plutarco, el filósofo Anaxágoras fue uno de los primeros en haber "escrito sobre la cuadratura del círculo mientras estuvo en prisión" ("escrito" o posiblemente "dibujado", del griego "ἔγραφε"),[9]​ aunque no proporciona más detalles sobre la construcción de Anaxágoras.

En el siglo XX Chebotariov y Dorodnov probaron que, en general, las lúnulas no pueden cuadrarse excepto los tres tipos de lúnulas propuestos por Hipócrates y dos tipos más aportados por Leonhard Euler en el siglo XVIII.

Brisón de Heraclea refinó este procedimiento aproximando adicionalmente el círculo con polígonos circunscritos y formando un valor intermedio.

[13]​ Hipias de Élide ideó alrededor del 425 a. C. un procedimiento para resolver la trisección angular mediante una curva que se generó mecánicamente superponiendo un movimiento circular con uno lineal.

En la tercera proposición, Arquímedes dio una aproximación simple y precisa de este número, a saber, 22/7, un valor (≈ 3,143) que todavía se utiliza hoy en día con fines prácticos.

Una estimación inteligente de las raíces cuadradas que aparecen en los sucesivos pasos del cálculo le permitió obtener como resultado los límites mencionados en la tercera proposición.

Autores posteriores citan este trabajo como una referencia para cuadrar el círculo, aunque el propio Arquímedes no dejó ninguna mención al respecto.

Para llegar a este resultado, divide el círculo en 44 sectores idénticos, que combina para formar un rectángulo de lados 11 y 14.

Sin embargo, Franco no explica el paso mediante el que sustituye los sectores circulares por triángulos rectángulos con catetos de longitud 1 y 7.

El valor determinado a partir de este procedimiento para π está al menos entre los límites dados por Arquímedes.

[29]​ El enfoque puramente geométrico para determinar la constante circular se agotó esencialmente con el trabajo de Huygens.

[31]​ Más importante en la práctica sería la serie encontrada por James Gregory e independientemente por Gottfried Leibniz para calcular el arco tangente.

Una construcción geométrica con regla y compás se basa en un número finito de puntos dados y en determinar mediante un número finito de pasos nuevos puntos al cruzar dos líneas rectas, dos circunferencias o una línea recta con una circunferencia.

Sin embargo, hasta mediados del siglo XIX todavía no estuvo claro si existían números trascendentes.

[42]​ Carl Louis Ferdinand von Lindemann pudo demostrar finalmente en 1882 que π no es un número algebraico, sino transcendente.

[43]​ Lindemann utilizó en su trabajo un resultado del matemático francés Charles Hermite, quien había demostrado en 1873 que el número e es trascendente.

[46]​ Como pocas otras cuestiones, la cuadratura del círculo también alcanzó una gran popularidad fuera de las matemáticas, de manera que muchos matemáticos aficionados intentaron resolver el problema aparentemente simple; y algunos creyeron haberlo solucionado.

[52]​ Un ejemplo destacado de un matemático aficionado que creía haber hallado la cuadratura del círculo fue el filósofo inglés Thomas Hobbes.

En el período siguiente se desarrolló una fuerte disputa entre ambos, que no terminó hasta la muerte de Hobbes en 1679.

Hacia el final de la novela, en un largo diálogo con su padre Virag, admite triste y decepcionado su fracaso.

Para proporcionar un método de dibujo conveniente, Alberto Durero retomó esta construcción en 1525 en su obra Vnderweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt.

Ejemplos para ilustrar los errores: El matemático británico E. W. Hobson descubrió una construcción particularmente simple y fácilmente comprensible en 1913.

Solo requiere tres arcos y dos segmentos en ángulo recto entre sí para determinar el lado del cuadrado.

Ejemplos para ilustrar los errores: Si se encuentra una fracción cuyo valor corresponde aproximadamente al número

Con la ayuda de curvas especiales trascendentes (las llamadas cuadratrices) como única herramienta adicional, es posible cuadrar exactamente un círculo.

[72]​ La existencia o disponibilidad de tal cuadratura se asume simplemente en el modelo matemático.