Cuadratriz de Hipias
Considérese un cuadrado ABCD con un cuarto de círculo inscrito centrado en A, de modo que el lado del cuadrado sea el radio del círculo.
Sea E un punto que se desplaza con una velocidad constante en el cuarto de círculo de D a B, y sea F un punto que se desplaza con una velocidad constante de D a A sobre el segmento AD, de tal manera que F y E comienzan el movimiento en D en el mismo momento.
se extiende para incluir la recta real completa (excepto los puntos donde
Entonces la cuadratriz viene dada por la siguiente función:[5][6] La trisección de un ángulo arbitrario usando solo regla y compás es imposible.
Sin embargo, si se permite utilizar la cuadratriz como una herramienta adicional, es posible dividir un ángulo arbitrario en n segmentos iguales, y por lo tanto, es posible efectuar una trisección (para n = 3).
[1][2] Dado que, según la definición de la cuadratriz, el ángulo atravesado es proporcional al segmento atravesado del lado de los cuadrados asociados que divide ese segmento del lado en n partes iguales, análogamente produce una partición del ángulo asociado también.
Para un ángulo dado BAE ( ≤ 90°) constrúyase un cuadrado ABCD sobre uno de sus lados AB.
El otro tramo del ángulo interseca la cuadratriz del cuadrado en un punto G y la línea paralela al tramo AB a través de G cruza el lado AD del cuadrado en F. Ahora el segmento AF corresponde al ángulo BAE y debido a la definición de la cuadratriz cualquier división del segmento AF en n partes equidistantes produce una división correspondiente del ángulo BAE en n partes de igual tamaño.
Para dividir el segmento AF en n partes equidistantes, procédase de la siguiente manera.
Conéctese el punto final O del último segmento con F y dibujar líneas paralelas a OF a través de todos los puntos finales de los n − 1 segmentos restantes en AO.
[5] Como no todos los puntos del trisectriz pueden construirse solo con regla y compás, es realmente necesario como una herramienta adicional junto a estas anteriormente nombradas.
[2][3] Cuadrar el círculo solo con regla y compás es imposible.
[1] Para un cuarto de círculo dado con radio r se construye el cuadrado asociado ABCD con longitud de lado r. La cuadratriz se cruza con el lado AB en J con
Entonces, la línea a través de A y K interseca la extensión del lado BC en L; y según el teorema de Tales se deduce que
Ahora, se extiende el lado ON mediante un segmento
La extensión de BO se encuentra con el semicírculo en R y debido al teorema de Tales, el segmento OR es la altura del triángulo rectángulo QNR.
[7] Téngase en cuenta que el punto J, donde la cuadratriz se encuentra con el lado AB del cuadrado asociado, es uno de los puntos de la cuadratriz que no se puede construir solo con regla y compás y ni siquiera con la ayuda del compás basándose en la cuadratriz en la definición geométrica original (véase el dibujo).
Esto se debe al hecho de que las dos líneas que se mueven uniformemente coinciden y, por lo tanto, no existe un punto de intersección único.
Sin embargo, confiar en la definición generalizada de la cuadratriz como una función o curva plana permite que J sea un punto de la cuadratriz.
Proclo nombra a Hipias como el inventor de una curva llamada cuadratriz y describe en otro lugar cómo Hipias había aplicado la curva al problema de la trisección.
Papo solo menciona cómo Dinostrato, Nicomedes y otros utilizaron una curva llamada cuadratriz para cuadrar el círculo, pero no mencionan a Hipias ni atribuyen la invención de la cuadratriz a una persona en particular.
Jámblico simplemente escribe en una sola línea, que Nicomedes utilizó una curva llamada cuadratriz para cuadrar el círculo.
Esta interpretación de las fuentes históricas se remonta al matemático e historiador alemán Moritz Cantor.
