Duplicación del cubo

El problema de duplicar el cubo exclusivamente con las herramientas que Euclides usó en sus Elementos, es decir, con regla y compás se puede traducir al lenguaje algebraico, lo que permite demostrar la imposibilidad de su construcción, tal y como probó por primera vez el matemático francés Pierre Wantzel en 1837.

Sin embargo, es muy probable que Carl Friedrich Gauss ya conociera la evidencia de este hecho, aunque nunca dejó constancia del mismo.

Si la restricción se debilita y se permite una ayuda adicional, como introducir marcas en una regla o curvas especiales, entonces es posible la construcción de un cubo con el doble de volumen.

Un cierto número de estas posibles soluciones ya se conocían en la antigüedad clásica.

[2]​ Entre otras cosas, el problema se cita literalmente en una carta del erudito Eratóstenes (alrededor del 275-194 a. C.) a un rey de nombre Ptolomeo (probablemente, Ptolomeo III o Ptolomeo IV) (se ha demostrado que la carta es una reproducción auténtica de la carta original) en la que el científico menciona al gobernante la cuestión de doblar el cubo.

Los arquitectos de Delos, sin embargo, no sabían cómo resolver la cuestión, por lo que pidieron consejo a Platón (428/427-348/347 a. C.).

Los matemáticos de la antigüedad no solo usaban la regla y el compás para resolver problemas.

La suposición de que existía tal restricción metodológica ha resultado ser un mito moderno.

Pero permite concluir que es imposible duplicar el cubo utilizando exclusivamente regla y compás.

Esto da como resultado el conocimiento de que cada elemento del conjunto

Si, además de las herramientas clásicas (euclídeas), las reglas sin marcar y los compases, se necesitan otros procedimientos adicionales, como un dispositivo mecánico especial[26]​ o una regla marcada, la longitud de la arista necesaria para duplicar el cubo puede ser teóricamente determinada con exactitud.

Las construcciones con la ayuda de una "inserción" en una regla,[27]​ también conocidas como neusis, además del compás utilizan una regla en la que se realiza una marca para fijar una medida como ayuda adicional.

El uso de las dos herramientas mecánicas que se describen a continuación proporciona las llamadas dos medias proporcionales

Los comentaristas modernos consideran poco probable que este método sea atribuible al célebre filósofo Platón debido a su vehemente rechazo de las ayudas mecánicas,[11]​ aunque Lattmann describe en su estudio Modelado matemático de Platón entre Tales y Euclides de 2019 en detalle por qué la solución podría atribuirse correctamente a Platón.

La herramienta mecánica (sin evidencias materiales que permitan saber exactamente cómo era) consiste, por ejemplo, en dos reglas en forma de U.

Para que la regla suelta pueda moverse exactamente en paralelo a su homóloga, está guiada convenientemente en las dos partes laterales.

Como resultado, la herramienta mecánica facilita la determinación de Debido al paralelismo

, los siguientes triángulos tienen los mismos ángulos y, por lo tanto, son semejantes entre sí: Euclides, Elementos, 1, 29:[33]​ Dado que el vértice

[9]​ Arquitas tuvo éxito en su construcción teórica mediante una curva especial que lleva su nombre.

A continuación se muestra la construcción del semicilindro (altura aproximada de 2,5) sobre el semicírculo

Se continúa con el trazado de un arco alrededor del punto

- la intersección con un toro de revolución sin orificio (no dibujado) - ahora debe rotarse en sentido antihorario alrededor del punto

[42]​ El matemático Johann Sturm dio una demostración detallada de esta construcción.

se tiene que y por lo tanto Al intersecar las dos parábolas se obtiene así un punto cuya abscisa es el lado del cubo con un volumen que duplica el volumen del cubo dado.

genera: Este proceso puede repetirse tantas veces como se desee.

Un tercer paso de iteración permite aproximar todavía más el valor buscado calculando

Para este propósito, por ejemplo, se puede utilizar el teorema de Tales.

Debido a las proporciones tan diferentes entre las distintas cantidades, es conveniente mostrar este proceso en su propia imagen.

En la teoría musical, un análogo natural de la duplicación es el salto de un tono en una octava, es decir, el intervalo musical que se crea al duplicar la frecuencia del tono.

Un análogo natural de un cubo (con volumen 2) es la división de la octava en tres partes, cada una con el mismo intervalo; esto representa las tres aristas iguales del cubo.