Cisoide de Diocles

El propio Isaac Newton (1642-1727) ideó un método para dibujar la curva mediante dos segmentos de igual longitud.

Con estas condiciones, las ecuaciones polares de LyC son: Por construcción, la distancia desde el origen hasta un punto en la cisoide es igual a la diferencia entre las distancias entre el origen y los puntos correspondientes en LyC.

En otras palabras, la ecuación polar de la cisoide es Aplicando algunas identidades trigonométricas, esto es equivalente a Sea

Sea P el punto (2a, 2at); entonces Q es (0, 2at) y la ecuación de la línea recta OP es y=tx.

Para ver esto,[7]​ sea la distancia entre B y J igual a 2a.

Después de la simplificación, se generan las ecuaciones paramétricas Cambiando los parámetros, reemplazando ψ por su complemento, se obtiene o, aplicando las fórmulas del ángulo doble, Pero esta es la ecuación polar dado arriba con θ = Ψ/2.

El geómetra griego Diocles usó la cisoide para obtener dos promedios proporcionales a una razón dada.

Dibujar BA de forma que P=(x, y) sea el punto donde se cruza con la cisoide.

El problema es que no existe una forma bien definida de conectar los puntos.

Si están conectados por segmentos rectilíneos, entonces la construcción estará bien definida, pero no será una cisoide de Diocles exacta, sino solo una aproximación.

Asimismo, si los puntos están conectados con arcos circulares, la construcción estará bien definida, pero también será inexacta.

Una vez que se ha dibujado el conjunto finito de puntos en la cisoide, entonces la línea PC probablemente no intersecará uno de estos puntos exactamente, sino que pasará entre ellos, cruzando la cisoide de Diocles en algún punto cuya ubicación exacta no ha sido construida, porque solo ha sido aproximada.

Esta regla se estableció por razones de lógica axiomática y consistencia.

Permitir la construcción con nuevas herramientas sería como agregar nuevos axiomas, pero se supone que los axiomas son simples y evidentes, pero tales herramientas no lo son.

Esta cisoide podría luego trasladarse, rotarse y expandirse o contraerse en tamaño proporcionalmente (sin cambiar su forma) a voluntad para encajar en cualquier posición.

Entonces fácilmente se admitiría que tal cisoide puede usarse para resolver correctamente el problema de Deliano.

[9]​ Las propiedades geométricas de las curvas podales en general producen varios métodos alternativos para construir la cisoide.