Estrofoide
En matemáticas, y más precisamente en geometría, una curva estrofoide, o simplemente una estrofoide, es una curva engendrada a partir de una curva dada
, la curva se denomina una estrofoide oblicua.
La estrofoide recta a veces también se denomina curva logocíclica.
La curva estrofoidal que corresponde a la curva C, con el punto fijo A y el polo O se construye de la manera siguiente: sea L una recta móvil que pasa por O y que corta C en K. Sean entonces P1 y P2 los dos puntos de L tales que P1K = P2K = AK.
El lugar geométrico de los puntos P1 y P2 se denomina la estrofoide de C relativa al polo O y con el punto fijo A.
Se observa que AP1 y AP2 son ortogonales.
el punto de coordenadas cartesianas
, y los puntos a distancia
sobre esta recta están a una distancia
Por lo tanto, la ecuación de la estrofoide viene dada por Sea
Entonces, las fórmulas polares precedentes muestran que la representación paramétrica de la estrofoide es: donde La complejidad de las fórmulas precedentes limita su utilidad a la práctica.
Existe por eso una forma alternativa a veces más sencilla, que es particularmente útil cuando
es una sectriz de Maclaurin con polos
se da en función de
usando el teorema de los senos: Sean
en el vértice, y por lo tanto los ángulos de la base
son perpendiculares (puesto que el triángulo
tienen la misma forma, y la estrofoide es o bien otra sectriz de Maclaurin, o bien una pareja de sectrices.
Se puede encontrar una ecuación polar sencilla si se toma el origen en el punto simétrico de
Las ecuaciones polares de la estrofoide correspondiente con el origen en
, denominada estrofoide oblicua, toman la forma y Se verifica fácilmente que estas dos ecuaciones describen de hecho la misma curva.
(véase el artículo sobre la sectriz de Maclaurin) y reemplazando
, se obtiene Una rotación de valor
transforma esta ecuación en En coordenadas cartesianas (y cambiando las constantes), se obtiene El resultado es una cúbica unicursal según su ecuación polar.
en se obtiene Esta curva se denomina estrofoide recta, y corresponde al caso donde
Su ecuación cartesiana es y su representación paramétrica unicursal es: La curva se asemeja al folium de Descartes, y la recta
es asíntota de las dos ramas infinitas.
La curva posee dos asíntotasimaginarías más en el plano complejo, dadas por Sea
Entonces, las ecuaciones polares de las estrofoides correspondientes son y Son las ecuaciones de dos circunferencias que pasan también por
, y forman ángulos de
