Sectriz de Maclaurin
Hay casos especiales que también se conocen como arácnidas o aracneidas debido a su forma similar a una araña, y curvas de Plateau en referencia al matemático que las estudió, Joseph-Antoine Ferdinand Plateau.
[1] Sean dos líneas rectas que giran alrededor de dos polos
Por traslación y rotación se puede asumir que
y la recta que gira alrededor de
es racional; de lo contrario, la curva no es algebraica y es densa en el plano.
entonces, por el teorema de los senos, así que es la ecuación en coordenadas polares.
es un número entero mayor que 1, se obtienen formas alternativas de curvas arácnidas o aracneidas: Con una operación similar a la anterior, resulta como la ecuación polar (en
) si el origen se desplaza a la derecha la distancia
son números enteros y la fracción es irreducible.
En la notación de la sección anterior, se tiene que Si
, entonces la ecuación se convierte en de donde es relativamente sencillo obtener la ecuación cartesiana dados m y n. La función o también Sea
Entonces, convertir la ecuación polar anterior a una ecuación paramétrica produce[2] La aplicación de la regla de la suma de ángulos para el seno produce Entonces, si el origen se desplaza hacia la derecha por a/2, entonces las ecuaciones paramétricas son Estas son las ecuaciones para las curvas de Plateau cuando
, o La curva inversa con respecto al círculo con radio a y centro en el origen de es Esta es otra curva de la familia.
Los valores de q en esta familia son Sea
suele ser 0 en la práctica, por lo que normalmente no es un problema.
un ángulo dado y supóngase que la sectriz de Maclaurin se ha dibujado con los polos
es el ángulo de esta línea, entonces así que
entre sí como en el algoritmo de Euclides, se puede construir el ángulo
Por lo tanto, la curva es una m-sectriz, lo que significa que con la ayuda de la curva se puede dividir un ángulo arbitrario por cualquier número entero.
Este punto está en la bisectriz perpendicular de
por lo que cualquier punto del círculo forma un ángulo de
Esta es la curva que es la línea recta a través de
Este caso es una circunferencia que contiene el origen y
Tiene ecuación polar Es la curva inversa con respecto al origen del caso q=0.
Estas forman las circunferencias de Apolonio con polos
De la ecuación polar es evidente que las curvas tienen asíntotas en
Entonces, las cónicas son, de hecho, hipérbolas equiláteras.
Las trayectorias ortogonales de esta familia están dadas por
La construcción anterior proporciona un método por el que esta curva se puede utilizar como trisectriz.
El 3 en el numerador de q y la construcción anterior dan un método por el cual la curva puede usarse como trisectriz.
