Concoide de Nicomedes

La concoide de Nicomedes es una curva plana ideada por el matemático griego Nicomedes, que vivió aproximadamente al mismo tiempo que Arquímedes en el siglo II a. C. El nombre de concoide, procedente de la palabra griega "κογχοειδής", hace referencia a que la forma de la curva recuerda al perfil de una concha.

[1]​ Es un tipo de concoide cuyos radios vectores trazados desde un punto fijo cortan a una recta (denominada "base") a una distancia constante.

[2]​ Dada una recta base paralela al eje polar situada a una distancia d del origen, y una distancia fija k que se sitúa sobre cada radio vector a partir del punto en el que cruza la recta base (tanto por detrás como por delante), la ecuación en coordenadas polares de la concoide de Nicomedes es: que, en coordenadas cartesianas toma la forma: La relación entre los parámetros d y k determina el aspecto de las dos ramas de la curva.

(llamado polo) y una línea recta

Se considera ahora una segunda línea recta genérica que pasa por

obtenidos al rotar la línea recta

se denomina concoide de Nicomedes.

Es inmediato comprobar que para un sistema de coordenadas polares, la ecuación de la concoide toma la forma Haciendo coincidir el punto

; y tomando una recta base paralela al eje

a una distancia d del origen, y una distancia k a aplicar sobre los radios vectores, la ecuación cartesiana de la curva es: Por otro lado, las ecuaciones paramétricas toman la forma:[4]​ René Descartes incluyó en su obra "La Géométrie" (La Geometría)[5]​ explica un método que permite dibujar la normal y, por lo tanto, la tangente de la concoide de Nicomedes.

Aquí se expone brevemente: Se desea trazar la normal de una concoide de Nicomedes con polo A y módulo b en un punto C. La línea directriz de esta concoide se llamará (BH), donde B es tal que (AB) y (CH) son perpendiculares a (BH).

La curva se puede utilizar para resolver el problema de la trisección del ángulo.

, y se considera la concoide construida sobre la recta

se encuentra con la rama externa de la concoide en

, entonces se tiene que El inconveniente de este procedimiento es que obligaría a trazar una concoide a medida de cada ángulo que se desea trisecar, aunque basta utilizar el método neusis para ajustar una regla con dos marcas (situadas al doble de la distancia OL), entre las rectas

; que además debe pasar por el origen.

Esto no sucede con otras trisectrices (como por ejemplo, la trisectriz de Maclaurin), que permiten trisecar cualquier ángulo con la misma curva.

Por la definición de concoide, se tiene que: y por lo tanto Por otro lado,

son isósceles y por tanto: Pero LCM = COA porque son ángulos alternos internos y por lo tanto LÔM = 2 CÔA o también como queda demostrado.

La construcción gráfica que permite determinar el valor de

según los datos dados (para la duplicación del cubo,

por la mitad se obtiene el punto medio

) cortar con un arco de circunferencia dicha perpendicular en el punto

en el que no se encuentra el rectángulo

como recta base y una distancia igual a

La concoide así descrita se encuentra con la línea recta

, como consecuencia de las construcciones realizadas, se tiene que: y por lo tanto al unir

sustituyendo en la proporción anterior, se tiene que: A partir de aquí, se obtiene el cuadrado y eliminando los denominadores Al operar y reducir el resultado se llega a es decir, a partir del cual y siendo

diferente de cero (ya que

y, por tanto, que permite escribir Elevando al cubo pero y por lo tanto simplificando se obtiene Entonces: La tercera y primera igualdad, divididas miembro por miembro, dan es decir A su vez, el segundo y el primer miembro divididos dan: es decir Finalmente, resulta: En particular, si