Concoide
Una concoide[1] (del griego "κογχοειδής", [konchoeidḗs], a través del latín concha, en referencia a las conchas de los moluscos) es una curva plana obtenida a partir de un punto fijo O, de otra curva y de una distancia d. O es entonces el polo de la concoide y d su módulo.
Para cada línea recta que pasa por O que interseca la curva dada en un punto P, se obtienen los puntos N y Q de la línea recta ubicados a una distancia d de P. La concoide es el lugar geométrico de los puntos N y Q cuando se atraviesa por P la curva dada.
La condición de que la distancia d sea constante, implica que las concoides son un caso particular de las cisoides, en el que una de las dos curvas implicadas sería una circunferencia con centro en el polo O y radio d. De esta forma, se puede definir una concoide como una cisoide en la que una de las dos curvas generadoras es una circunferencia centrada en el polo O: Si d es el radio de esta circunferencia, la concoide de una curva ρ=ρ1 (θ) tiene, en coordenadas polares, las expresiones: La concoide más simple es la de una recta, inventada por el matemático griego Nicomedes en el siglo II a. C. Fue el primero en realizar una construcción mecánica de una curva plana distinta de la circunferencia.
Esta es la curva de ecuación polar
Es una trisectriz, es decir, permite dividir un ángulo dado arbitrario en tres partes iguales, con la particularidad que para cada ángulo φ que se triseca, se necesita una concoide diferente.
Así mismo, las concoides de Nicomedes también permiten duplicar un cubo.
[2] Las concoides circulares pueden ser útiles para obtener la trisección de un ángulo.
También se pueden utilizar para estudiar el movimiento de una biela en el caso de que se viera obligada a deslizarse pasando por un punto fijo y donde uno de sus puntos recorriera una circunferencia.
(a representa la distancia OC) y módulo
ρ = a ( cos θ ±
En primer lugar se calcula la ecuación de la circunferencia con centro C. Su ecuación cartesiana es
: Resolviendo esta ecuación de segundo grado: Se puede concluir que la concoide de la circunferencia con centro C (a, 0) tiene la ecuación polar
, ya que al=d Hay algunos casos especiales interesantes: Los caracoles de Pascal deben su nombre a Étienne Pascal, padre de Blaise Pascal.
Tienen la ecuación en coordenadas polares: Además, cuando b=2a, se obtiene el caracol trisector que posee, como la concoide de Nicomedes, la particularidad de permitir realizar la trisección del ángulo.
