Ecuación de segundo grado

Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola.

La primera solución completa la desarrolló el matemático Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un problema que se había perseguido durante siglos.

Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones.

que requiere hallar un número real cuyo cuadrado sea -1, se superó con la construcción de números imaginarios y la invención de la unidad imaginaria i, definida mediante la igualdad

Se usa ± para indicar las dos soluciones: La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que

y simplificando la fracción de la raíz Simplificando a común denominador si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado La demostración sin cambio de variables se puede ver aquí: Extrayendo las 2 posibles raíces cuadradas, obtenemos: Moviendo

y sirve para analizar la naturaleza de las raíces que pueden ser reales o complejas.

la parábola corta el eje de las abscisas en dos puntos diferentes.

La parábola solo toca en un único punto al eje de las abscisas.

La parábola no corta al eje de las abscisas.

Una ecuación cuadrática con real o complejo [tiene dos soluciones, llamadas raíces.

Puede ser posible expresar una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 como un producto (px + q)(rx + s) = 0.

En algunos casos, es posible, por simple inspección, determinar los valores de p, q, r y s que hacen que las dos formas sean equivalentes entre sí.

Si la ecuación cuadrática se escribe en la segunda forma, entonces la «Propiedad del Factor Cero» establece que la ecuación cuadrática se satisface si px + q = 0 o rx + s = 0.

Resolviendo estas dos ecuaciones lineales se obtienen las raíces de la cuadrática.

[7]​{rp|202—207}} Si se da una ecuación cuadrática de la forma x2 + bx + c =} 0, la factorización buscada tiene la forma (x + q)(x + s), y hay que encontrar dos números q y s que sumen b y cuyo producto sea c (a veces se llama «regla de Vieta»[8]​ y está relacionado con las fórmulas de Vieta).

El caso más general en el que a no es igual a 1 puede requerir un esfuerzo considerable de ensayo y error de adivinar y comprobar, suponiendo que se puede factorizar en absoluto por la inspección.

Excepto en casos especiales como cuando b = 0 o c = 0, la factorización por inspección sólo funciona para ecuaciones cuadráticas que tienen raíces racionales.

Esto significa que la gran mayoría de las ecuaciones cuadráticas que surgen en aplicaciones prácticas no pueden resolverse mediante factorización por inspección.

[7]​: 207  Partiendo de una ecuación cuadrática en forma estándar, ax2 + bx + c =} 0 Ilustramos el uso de este algoritmo resolviendo 2x2 + 4x − 4 = 0 El símbolo más-menos «±» indica que tanto x = −1 + √3 and x = −1 − √3 son soluciones de la ecuación cuadrática.

[9]​ Para encontrar los puntos de corte en una parábola se utiliza la siguiente formula de segundo grado Para eje X:

La ecuación cuadrática también se puede resolver con un cambio de variable.

suman 10, si a cada una le resto 5 podremos lograr transformar la ecuación original en una que no tenga término en

Este cambio de variable resulta en la ecuación simplificada

En este caso aparece como coeficiente del término de primer grado un número par

Su forma polinómica es: Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable

El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula: Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:

Cuando el primer coeficiente y el término independiente son opuestos[12]​

se tiene solo en la solución real, si en la fórmula general el valor de las variables es el siguiente o se presenta el siguiente caso en que:

Para resolver se hace la sustitución: de lo siguiente

Signo del discriminante.
<! -- Nota: Las grafías inusuales en este texto alternativo (por ejemplo, «eh» para la constante «a») están pensadas para facilitar la pronunciación a los lectores de pantalla. Antes de cambiar cualquier texto alternativo, pruebe los cambios en varios lectores de pantalla. -->alt=Figura 1. Diagramas de la función cuadrática, y = eh x al cuadrado más b x más c, variando cada coeficiente por separado mientras que los otros coeficientes se fijan en los valores eh = 1, b = 0, c = 0. El diagrama de la izquierda ilustra la variación de c. Cuando c es igual a 0, el vértice de la parábola que representa la función cuadrática se centra en el origen, y la parábola se eleva a ambos lados del origen, abriéndose hacia arriba. Cuando c es mayor que cero, la parábola no cambia de forma, pero su vértice se eleva por encima del origen. Cuando c es menor que cero, el vértice de la parábola desciende por debajo del origen. El gráfico central ilustra la variación de b. Cuando b es menor que cero, la parábola que representa la función cuadrática no cambia de forma, pero su vértice se desplaza a la derecha y por debajo del origen. Cuando b es mayor que cero, su vértice se desplaza a la izquierda y por debajo del origen. Los vértices de la familia de curvas creadas al variar b siguen una curva parabólica. El gráfico de la derecha ilustra la variación de eh. Cuando eh es positivo, la función cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba. Cuando eh es cero, la función cuadrática es una recta horizontal. Cuando eh es negativa, la función cuadrática es una parábola que se abre hacia abajo
La figura 2 ilustra una gráfica x y de la función cuadrática f de x igual a x al cuadrado menos x menos 2. Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica interseca el eje x, x igual a −1 y x igual a 2, son las soluciones de la ecuación cuadrática x al cuadrado menos x menos 2 igual a cero
Figura 2. Para la función cuadrática y = x 2 − x − 2 , los puntos donde la gráfica cruza el eje x , x = -1 y x = 2 , son las soluciones de la ecuación cuadrática x 2 − x − 2 = 0 .