Ecuación de cuarto grado
donde a, b, c, d y e (siendo
y ocasionalmente son los números reales o los complejos
Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas y por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas.
En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es válida:
[2][3] En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces.
[4] Esta ecuación cuártica que es unitaria, como polinomio para valores reales nunca se anula.
Por lo tanto sus cuatro raíces son complejas, en pares de conjugados.
Precisamente la raíces quintas primitivas de la unidad.
radianes y sus múltiplos hasta el cuarto.
[5] Existen métodos resolutivos para resolver ecuaciones de cuarto grado, con los cuales podemos llegar a las soluciones de éstas, por lo que el conjunto de los números reales no es algebraicamente cerrado, resultando siempre en cuatro soluciones, comúnmente en dos soluciones reales y dos soluciones complejas conjugadas (pero no siempre puede resultar así).
Se puede aproximar las soluciones de la ecuación con el método de Newton-Raphson, pero solo se obtendrá una de las soluciones reales, haciendo que este método resulte muy desventajoso por sus limitaciones en el contexto del cálculo infinitesimal.
el polinomio al que se quiere hallar sus raíces cuyos coeficientes son enteros, consideremos a un factor lineal
de tercer grado que puede ser resuelto aplicando factorización nuevamente, o resolviéndolo por el método de Cardano (si dicho cociente cúbico es irreducible por factores racionales).
dado por cuyo residuo resultante es: por lo que si
es un polinomio irreducible, y debe resolverse por métodos alternativos.
Sea la ecuación cuártica Se reduce a la forma mónica dividiendo por
: donde Su ecuación cúbica resolvente es: que puede ser resuelta por el método de Cardano, donde
No obstante, la naturaleza de las raíces de la ecuación cúbica resolvente determinará las soluciones de la ecuación original, considerando las siguientes posibilidades: Una vez obtenemos la raíz positiva de la ecuación cúbica resolvente, calculamos los siguientes valores: De estos valores, resolveremos dos ecuaciones cuadráticas: Al resolverlas por la fórmula cuadrática, obtenemos las soluciones de la ecuación cuártica original: Sea la ecuación cuártica Dividimos la ecuación inicial por la componente cuártica, obtenemos: Procedemos a realizar una transformación de Tschirnhaus, es decir, sustituir
para convertirla en su forma reducida: cuyas componentes se dan por: La ecuación cúbica resolvente del método de Descartes es: No obstante, a diferencia de la ecuación cúbica resolvente del método de Ferrari, una de sus raíces reales debe ser positiva, con la que resolveremos dos ecuaciones cuadráticas: Al resolverlas por la fórmula cuadrática, entonces las soluciones de la ecuación cuártica reducida son (ordenándolas por signos positivos y negativos): Como el objetivo es encontrar las soluciones de la ecuación original, utilizamos la siguiente fórmula: Por tanto, reemplazamos
: Por otro lado, si utilizamos las relaciones de Cardano-Vieta en las soluciones de la ecuación cuártica original, podemos tener las componentes cúbica, cuadrática, lineal y el término independiente en la ecuación original: Éstas son un caso particular de las anteriores, cuya forma polinómica es: Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable
, con lo que nos queda: El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula cuadrática: Se deshace el cambio de variable para obtener las cuatro soluciones: Sea
una raíz cuyo valor se conoce: Las otras raíces son: Si se tiene la ecuación donde se cumple la condición: la ecuación reducida es una ecuación bicuadrada, dado que
Dicha ecuación puede ser encontrada mediante las fórmulas de los coeficientes
Un método más sencillo se obtiene de convertir a la ecuación mónica: De la condición
Otro método posible es expresar la ecuación anterior en la forma: Así, se resuelve la ecuación cuadrática: y después la ecuación cuadrática para los dos valores de
, se obtiene Haciendo cambio de variable: llegamos a así: Esta ecuación da 2 raíces,
Las ecuaciones cuasisimétricas poseen la siguiente propiedad, que, por otra parte, las define: si
Dado que el producto de las 4 raíces es
Todos los coeficientes son números racionales.
se tiene Puede así expresarse la ecuación en la forma: Se realiza el cambio de variable llegamos a para así obtener: Se resuelve la ecuación anterior, para después resolver para cada valor de
