Ecuación de primer grado
En la enseñanza secundaria se abordan con mucho énfasis las de una y dos variables.
Los coeficientes pueden considerarse parámetros de la ecuación y pueden ser expresiones arbitrarias, siempre que no contengan ninguna de las variables.
Para obtener una ecuación con sentido, se requiere que los coeficientes
Alternativamente, se puede obtener una ecuación lineal igualando a cero un polinomio lineal sobre algún campo, del que se toman los coeficientes.
La solución de una ecuación de este tipo son los valores que, al sustituir a las incógnitas, hacen que la igualdad sea cierta.
En el caso de una sola variable, existe exactamente una solución (siempre que
A menudo, el término ecuación lineal se refiere implícitamente a este caso particular, en el que la variable se denomina sensiblemente la incógnita.
Las soluciones de una ecuación lineal forman una línea en el plano euclídeo y, a la inversa, toda recta puede verse como el conjunto de todas las soluciones de una ecuación lineal en dos variables.
De forma más general, las soluciones de una ecuación lineal en n variables forman un hiperplano (un subespacio de dimensión n - 1) en el espacio euclídeo de dimensión n. Las ecuaciones lineales aparecen con frecuencia en todas las matemáticas y en sus aplicaciones en física e ingeniería, en parte porque los sistema de ecuaciones no lineales suelen estar bien aproximados por ecuaciones lineales.
Este artículo considera el caso de una ecuación simple con coeficientes del campo de los números realess, para la que se estudian las soluciones reales.
Todo su contenido se aplica a las soluciones de complejos y, de forma más general, a las ecuaciones lineales con coeficientes y soluciones en cualquier campo.
Este tipo de ecuaciones están incorporados en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) para abordar en los primeros años de la Educación Secundaria para saber usar estrategias algebraicas para encontrar soluciones.
La solución de una ecuación lineal de una variable, se puede representar en una gráfica con una recta paralela al eje vertical Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n, si el anillo es un dominio de integridad:
La incorporación de dos variables a las ecuaciones lineales produce que se puedan interpretar relaciones matemáticas entre ellas.
En el sistema cartesiano las ecuaciones lineales con dos incógnitas representan rectas.
Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y.
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultáneas.
Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones.
representa un hiperplano de n-1 dimensiones en el espacio vectorial n-dimensional
Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo.
Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.
Si se consideran n ecuaciones de primer grado linealmente independientes definidas sobre un cuerpo entonces existe solución única para el sistema si se dan las condiciones del teorema de Rouché-Frobenius, que puede ser calculada mediante la regla de Cramer que es aplicable a cualquier cuerpo.
Si el sistema se plantea sobre un anillo conmutativo que no sea un cuerpo, la existencia de soluciones es también más complejas.
Una función definida sobre un espacio vectorial es lineal si y solo si se cumple con la siguiente proposición: Donde α es cualquier escalar.
Siempre se puede suponer que una ecuación lineal con más de dos variables tiene la forma El coeficiente b, a menudo denotado a0 se denomina el término constante (a veces el término absoluto en los libros antiguos[4][5]).
Según el contexto, el término coeficiente puede reservarse para el ai con i > 0.
Si cada variable tiene un coeficiente cero, entonces, como se ha mencionado para una variable, la ecuación es o bien inconsistente (para b ≠ 0) por no tener solución, o bien todas las n-tuplas son soluciones.
En el caso de tres variables, este hiperplano es un plano.
Si se da una ecuación lineal con aj ≠ 0, entonces la ecuación se puede resolver para xj, dando como resultado Si los coeficientes son número reals, esto define una función de valor real de n variables reales.
