Ecuación de séptimo grado

Los coeficientes a, b, c, d, e, f, g, h pueden ser tanto números enteros, números racionales, números reales, números complejos o, más generalmente, los miembros de cualquier conjunto.Debido a que tienen un grado impar, las funciones de séptimo grado parecen similares a las de tercer o quinto grado al ser graficadas, excepto que pueden poseer mínimos locales y máximos locales adicionales (hasta tres máximos y tres mínimos).Algunas ecuaciones de séptimo grado se pueden resolver por factorización en radicales, pero otras no se pueden resolver de esa forma.Evariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podría ser resuelta por los radicales, lo que dio lugar al campo de la teoría de Galois.Por mostrar un ejemplo de una ecuación séptica irreducible pero solucionable, se puede generalizar la fórmula de De Moivre para las ecuaciones de quinto grado y obtener, donde la ecuación auxiliar es Esto significa que la ecuación séptica se obtiene mediante la eliminación de u y v entreEsto es fácilmente generalizable a cualquier otro grado k, no necesariamente primo.Otra familia solucionable es, cuyos miembros aparecen en la "Base de datos campos numéricos" de Kluner.La ecuación de séptimo grado general puede ser resuelto con grupos de Galois alternantes o simétricos A7 or S7.Tales ecuaciones requieren funciones hiperelípticas asociadas y las funciones theta de género 3 para su solución.Sin embargo, estas ecuaciones no fueron estudiadas específicamente por los matemáticos del siglo XIX que estudian las soluciones de las ecuaciones algebraicas, debido a que las soluciones de las ecuaciones de sexto grado ya estaban al límite de sus capacidades de computación sin computadoras.Vladimir Arnold resolvió esto en 1957, lo que demostró que esto siempre es posible.[2]​ Sin embargo, Arnold en sí consideraba que el genuino problema de Hilbert consistía en si las soluciones de estas ecuaciones se pueden obtener mediante la superposición algebraica de funciones de dos variables (el problema sigue estando abierto).