Polinomio

Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc. Algunos autores diferencian entre polinomio propiamente dicho (un elemento de anillo de polinomios asociado un cuerpo o anillo más simple) y función polinómica una función definida sobre un cuerpo (usualmente los reales o los complejos), cuya forma funcional puede expresarse unívocamente mediante un polinomio (en el sentido previamente mencionado) Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencias.

Los polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos.

, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y

el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como

En particular los números son polinomios de grado cero.

Es el polinomio que tiene todos sus coeficientes cero y 0, por convención a este polinomio se le asigna grado igual a

son polinomios con coeficientes en un dominio de integridad, se tiene que

Son los elementos no nulos de conjuntos numéricos correspondientes.

, el conjunto de polinomios de grado cero es isomorfo al anillo simple a partir del cual se forman los polinomios:

Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

Dado un polinomio P[x] se puede definir una función polinómica asociada al polinomio dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo:

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico.

Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves.

Estas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora.

Note que las gráficas representan a las funciones polinómicas y no a los polinomios en sí, pues un polinomio solo es la suma de varios monomios.

una condición necesaria para que un binomio sea un factor de un polinomio de grado n > 1, es que el término independiente del polinomio sea divisible por la raíz del monomio: necesariamente

En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado.

Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.

El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4, multiplica 2 por 4, suma los anteriores resultados y multiplícalo por un tercio de 6 (h); finaliza diciendo: «ves, es 56, lo has calculado correctamente».

En notación algebraica actual sería: V = h (t² + b² + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite obtener la cuarta variable.

Algunos polinomios, como P(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real.

Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.

Se conocen fórmulas de polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolò Fontana Tartaglia).

Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo.

En 1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores (ver el teorema de Abel-Ruffini).

Se sabe que la función g(x) = a0xn + a1xn-1+...+an en la cual n es un número entero positivo se denomina polinomio o función racional entera de x; n es el grado del polinomio; los coeficientes a0, a1,..., an son en este caso números reales o complejos, la variable independiente x puede tomar tanto valores reales o complejos.

Toda función racional entera g(x) tiene al menos una raíz real o compleja Todo polinomio de grado n, g(x) = a0xn + a1xn-1+...+an, se puede expresar como el producto de n factores lineales x-ri y por el coeficiente a0 para i=1,2,...,n.[7]​