Resolución de ecuaciones
En matemática, la resolución de una ecuación es el procedimiento de cálculo para encontrar los valores (números, funciones, conjuntos, etc.) que cumplen la condición indicada como una igualdad (una ecuación).
Para poder resolver ecuaciones se necesita despejar las incógnitas Una ecuación comprende expresiones con variables indefinidas, o incógnitas, que deben ser sustituidas por valores de forma tal que la igualdad sea cierta.
Para caracterizar las soluciones de una ecuación se imponen restricciones sobre las incógnitas.
En general, se pide que pertenezcan a un conjunto numérico específico.
La resolución de multiplicaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas mediante factorización de raíces es bastante sencilla cuando las raíces son racionales o reales; también hay fórmulas que proporcionan las soluciones.
Este resultado también se cumple para ecuaciones de mayor grado.
Resolver una ecuación simbólicamente significa que se pueden utilizar expresiones para representar las soluciones.
Sin embargo, es común reservar x, y, z, ... para denotar las incógnitas, y utilizar a, b, c, ... para denotar las variables conocidas, que a menudo se llaman parámetros.
Sin embargo, para algunos problemas, todas las variables pueden asumir cualquier papel.
Una forma general de una ecuación es donde f es una función, x1, ..., xn son las incógnitas, y c es una constante.
Por ejemplo, una ecuación como con incógnitas x, y y z, puede ponerse en la forma anterior restando 21z a ambos lados de la ecuación, para obtener En este caso particular no hay sólo una solución, sino un conjunto infinito de soluciones, que pueden escribirse usando notación constructora de conjuntos como Una solución particular es x = 0, y = 0, z = 0.
Existe un único plano en el espacio tridimensional que pasa por los tres puntos con estas coordenadas, y este plano es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas son soluciones de la ecuación.
A continuación sólo se mencionan algunos tipos concretos.
Para varias clases de ecuaciones, se han encontrado algoritmos para resolverlas, algunos de los cuales han sido implementados e incorporados en sistemas de álgebra computacional, pero a menudo no requieren tecnología más sofisticada que lápiz y papel.
En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones.
Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numéricas aproximadas.
Ecuaciones en las que intervienen funciones lineales o racionales simples de una única incógnita de valor real, digamos x, tales como puede resolverse utilizando los métodos del álgebra elemental.
Para resolver sistemas mayores se utilizan algoritmos basados en el álgebra lineal.
Las ecuaciones polinómicas de grado hasta cuatro pueden resolverse exactamente mediante métodos algebraicos, de los cuales la fórmula cuadrática es el ejemplo más sencillo.
Las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior requieren en general métodos numéricos (véase más adelante) o funciones especiales como radicales de Bring, aunque algunos casos concretos pueden resolverse algebraicamente, por ejemplo (utilizando el teorema de la raíz racional), y (utilizando la sustitución x = z1⁄3, que simplifica esto a una ecuación cuadrática en z).
En ecuaciones diofánticas se requiere que las soluciones sean enteras.
Sin embargo, dependiendo de la función, puede ser difícil definir la inversa, o puede que no sea una función en todo el conjunto B (solo por ejemplo en un subconjunto), y tener muchos valores para un dado punto.
En ciertos casos, se puede usar un algoritmo de búsqueda de raíces para encontrar la solución numérica a una ecuación, que en ciertos casos es más que suficiente para resolver algunos problemas.
En efecto, se pueden utilizar polinomios en una o varias variables para aproximar funciones - un ejemplo de estos polinomios son las series de Taylor.
Las ecuaciones que implican matrices y vectores de números reales pueden resolverse a menudo utilizando métodos del álgebra lineal.
Una clase particular de problemas que puede considerarse que pertenece a este ámbito es la integración, y los métodos analíticos para resolver este tipo de problemas se denominan ahora integración simbólica.
[cita requerida] Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser implícita o explícitas.
[2] Se debe notar que es posible crear distintas ecuaciones aún más complicadas, mediante el uso de operadores diferenciales, matrices, y otros operadores matemáticos.
