Serie de Taylor
suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie.
A la serie centrada sobre el punto cero, es decir, cuando
Esta aproximación tiene tres ventajas importantes: Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad.
En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de
Utilizando la notación sigma, lo anterior puede ser escrito de manera compacta como donde
Luego hay que deshacer el cambio de variable.
denota el logaritmo natural más general, la serie de Taylor para
es El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: [1] el resultado fueron las paradojas de Zenón.
Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes.
Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.
[2] Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.
En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin.
[6] Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quien recibe su nombre.
está dada por una serie de potencias convergente en un disco abierto (o intervalo en la recta real) centrada en
está dada por la serie de potencia convergente derivando con respecto a
Ejemplos de funciones que no son enteras son el logaritmo, la función trigonométrica tangente y su inversa, arcotangente; para estas funciones la serie de Taylor no converge si
Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de
[8] El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.
[9][10][11] Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método de Newton-Raphson fraccional [12] y trabajos relacionados posteriores.
[13][14][15] El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional.
En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L'Hopital en una carta que «... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles».
El nombre «cálculo fraccional» se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden
En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera: Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que
se define utilizando notación de Einstein:[16] Denotando
, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
Como consecuencia, se define el siguiente conjunto: Para una función
se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
y el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
, es posible definir el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
