Función W de Lambert

En matemáticas, la función W de Lambert, denominada así en honor a Johann Heinrich Lambert, si bien también se conoce como función Omega o log producto es la función inversa de f(w) = wew donde ew es la función exponencial natural y w es cualquier número complejo.La función se define mediante W. Para todo número complejo denominado z, se tiene:Puesto que la función f no es inyectiva, la función W es multivaluada (excepto en 0).De restringir los argumentos reales, x y w reales, la función es definida solo por x ≥ −1/e, y es doble-valuada en (−1/e, 0); la restricción adicional w ≥ −1 define una función simple-valuada W0(x), representable gráficamente.La rama alternativa en [−1/e, 0) con w ≤ −1 es indicada como W−1(x) y decrece de W−1(−1/e) = −1 a W−1(0−) = −∞.La función W de Lambert no puede expresarse en términos de funciones elementales.Es útil en combinatoria, por ejemplo en la enumeración de árboles.Puede emplearse para resolver varias ecuaciones que alberguen exponenciales y también participa en la solución de ecuaciones diferenciales retrasadas temporalmente, como y'(t) = a y(t − 1).Si x es real pero mayor o menor queequivale a la siguiente integral:Lambert inicialmente postuló una función relacionada (la ecuación trascendental de Lambert), que dio lugar a un artículo en 1783 en el cual se discutía el caso especial wew.Sin embargo, la inversa de wew fue descrita por Polya y Szegö en 1925.La función de Lambert fue "redescubierta" alrededor de una vez por década en aplicaciones especializadas, pero su importancia no se apreció realmente hasta la década de 1990.Cuando se anunció que la función W de Lambert da una solución exacta a los valores propios de la energía del sistema cuántico correspondiente al modelo descrito por el operador de Dirac para duplicar así para el caso de igualdad de cargas - un problema físico fundamental - Corless y los desarrolladores del sistema Maple hicieron una búsqueda bibliográfica y descubrieron que esta función aparece en todas partes en las aplicaciones prácticas.[1]​ Por derivación implícita, se encuentra que W satisface la ecuación diferencial ordinaria.La función W (x), y algunas expresiones que implican a W(x), pueden ser integradas empleando la regla de sustitución w = W(x), i.e.x = w ew:El radio de convergencia es 1/e, como puede verse mediante el criterio de d'Alembert.La función definida por las series puede extenderse a una función holomórfica definida para todos los números complejos con un corte de rama en torno al intervalo (−∞, −1/e]; la mencionada función holomórfica define la rama principal de la función W de Lambert.Algunas ecuaciones que poseen exponenciales pueden resolverse mediante esta función.Para ello, la estrategia general consiste en sustituir todas las instancias de lo desconocido a una parte de la ecuación y tornarla, entonces, a la forma Y = XeX, para la cual W proporciona una solución.De forma más general, la ecuación donde puede transformarse mediante la sustitución en dando que se resuelve como Técnicas similares llevan a con solución o, de forma equivalente, Siempre que el exponencial complejo infinito tipo tetración converja, la función W de Lambert proporciona un valor límite como en el cual ln(z) denota la rama principal de la función logarítmica compleja.Las soluciones para poseen la forma dondeLa solución para la corriente eléctrica en circuitos diodo/resistencia puede escribirse como una función W. La ecuación diferencial con retardo posee la ecuación característicaes real, sólo debe considerarseLa función W de Lambert abastece de soluciones reales a las ecuaciones "algébricas-transcendentales" (de eso x) de la forma: o a0, c y r son constantes reales.Las generalizaciones de la función W de Lambert[2]​[3]​[4]​ incluye: Las aplicaciones de la función W de Lambert en los problemas de la física fundamental hasta no son agotadas para el caso estándar exprimido en (1), como se ve en física atómica y molecular[8]​ y el criterio de Keiper-Li para la Hipótesis de Riemann.[9]​ La función W puede evaluarse mediante la relación de recurrenciaproporcionada en Corless et al.Esto calcula la rama principal para