En matemáticas, las ecuaciones diferenciales de retardo (EDR) son un tipo de ecuación diferencial funcional en la cual la derivada de la función desconocida en un momento determinado se da en términos de los valores de la función en momentos anteriores.
Los EDR también se denominan sistemas de retardo de tiempo, ecuación diferencial retardada en el tiempo o ecuaciones de diferencia diferencial.
[1] Pertenecen a la clase de ecuaciones diferenciales funcionales,[2] es decir, ecuaciones en derivadas parciales (EDP), que son de dimensión infinita, en oposición a las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), que tienen un vector de estado de dimensión finita.
Cuatro aspectos pueden dar una posible explicación de la popularidad de las EDR: Luego, el interés por los DDE continúa creciendo en todas las áreas científicas y, especialmente, en la ingeniería de control.
La variedad de EDR que existen es amplia.
En estas líneas enunciaremos las más simples.
Para generalizar la notación, al término retardado lo representaremos por
y nos referiremos a las EDR de primer orden, aunque los conceptos que siguen se pueden extender al caso de orden
Se define una Ecuación Diferencial con Retardo fijo de primer orden para
También se pueden definir ecuaciones diferenciales con retardo variables.
, en este caso el retardo es una función del tiempo
Existen ecuaciones diferenciales con múltiples retardo discretos:
son constantes no negativas para todo
Las ecuaciones diferenciales con retardo distribuido se definen como:
En este último caso la función integrable
es un peso, o función de densidad.
Pueden plantearse combinaciones más complejas de los casos anteriores.
Todas las definiciones para ecuaciones diferenciales mencionadas se pueden extender al caso vectorial, sistemas de la forma
es una función a valores vectoriales derivable desconocida y
Como ocurre con las EDO, las EDR también se clasifican en autónomas (cuando no depende de
en el caso vectorial y no autónomas cuando existe dependencia del tiempo
Ecuación Logística con retardo: Supongamos que a tiempo
y que existe una capacidad de carga
que representa la máxima población que puede existir de esta especie por limitaciones del entorno.
En este caso, el crecimiento de esta población se puede representar de manera simplificada:
en este caso se explica como el tiempo que tardan los individuos en madurar y volverse aptos para reproducirse.
Ecuación de Nicholson con retardo: Alexander J. Nicholson fue un reconocido entomólogo, jefe de la División de Entomología del Australian Commonwealth Scientific and Industrial Research Organisation (CSIRO), que durante la década de 1950 estudió en profundidad la peste que afectaba al ganado lanar, un pilar de la economía australiana.
Sus investigaciones fueron un gran aporte al modelado no lineal aplicado a la biología matemática.
es la masa de individuos a tiempo
es la edad en que una mosca adulta abandona la crisálida o el estado de pupa.