Ecuación diferencial ordinaria
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente escrita con la sigla EDO) es la ecuación diferencial que relaciona una función desconocida de una variable independiente con sus derivadas.
Solo las ecuaciones diferenciales más sencillas admiten soluciones dadas por fórmulas explícitas (como las lineales asociadas a una teoría desarrollada prácticamente por completo).
La matemática «pura» centra el foco «formal» en la solución, su existencia y si es o no única.
Tal vez el ejemplo más conocido es la ley de Newton:[1]
En sus renombrados Principios matemáticos de la filosofía natural (1687) que engloban mecánica newtoniana, empiezan con la ecuación diferencial del movimiento.
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) puede plantearse, siendo F una relación o función, como (1a)
En general, una ecuación diferencial lineal de orden n puede formularse, siendo cada
En la formulación más simple, la función incógnita es una función para cierto valor real o complejo pero con mayor generalidad, puede serlo para el valor de un vector o matriz, lo que lleva a considerar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) para una única función.
, entonces una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n tiene la siguiente forma:
Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.
Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y siendo, tanto
Una solución particular es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales.
Una solución singular es la que no puede derivarse de la general.
) una ecuación de primer orden resuelta con respecto a la derivada, se llama su solución general de la anterior ecuación diferencial, será una función del tipo:
que depende de una constante arbitraria C. Satisface ecuación diferencial para cualquier valor de la constante C. Además cualquiera que sea la condición inicial
siempre se puede asignar un valor C0 a la constante C, tal que la función y = φ(x, C0) satisfaga la condición inicial dada.
[5] En general si no se especifican ciertos valores iniciales o de contorno, que debe satisfacer la solución de una ecuación diferencial como (1) entonces no existirá una solución [particular] única, es decir, una única función que satisfaga la ecuación diferencial.
Para una ecuación diferencial lineal de orden n por ejemplo se requieren n condiciones iniciales o de contorno, para que exista una única función que cumpla simultáneamente la ecuación diferencia y las condiciones de contorno.
Si solo se especifican condiciones iniciales el problema de encontrar una función que satisfaga la ecuación diferencial y las condiciones iniciales se denomina problema de Cauchy.
Si se especifican condiciones que no son solo condiciones de contorno pueden tenerse problemas diferentes como los problemas de Sturm-Liuville.
Existen métodos de resolución generales para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que permiten encontrar soluciones analíticas.
Se supondrá que las funciones g y h son continuas.
se dice exacta si existe una función F que cumpla:
Para resolver se usa la sustitución y=xv, siendo v= v(x) una función desconocida.
Esta ecuación diferencial introducida por Jacopo Francesco Riccati presenta la estructura:
Una ecuación diferencial de Lagrange [cita requerida] presenta la forma:
, diferenciando y sustituyendo dy por pdx, se convierte a otra considerada en x como función de p, es lineal.
La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma:
Esta ecuación es resoluble mediante las llamadas funciones de Bessel:
En el caso de que todas las raíces sean diferentes la solución viene dada por:
