En álgebra lineal, el polinomio característico de una matriz cuadrada es un polinomio invariante por similitud matricial que tiene como raíces los valores propios de la matriz.
Para una matriz A genérica, se puede proceder de la siguiente forma: Si λ es un valor propio de A, entonces existe un vector propio v≠0 tal que o (donde I es la matriz identidad).
Sea K un cuerpo (podemos imaginar K como el cuerpo de los reales o de los complejos) y una matriz cuadrada A n-dimensional sobre K. El polinomio característico de A, denotado por pA(t), es el polinomio definido por:[3] donde I denota la matriz identidad n-por-n.[4] Algunos autores definen el polinomio característico como det(t I-A); la diferencia radica en que esta última forma de definirlo siempre produce un polinomio mónico, mientras que la dada previamente difiere en el signo cuando la matriz tiene un número impar de valores propios.
Esta diferencia es, de cualquier modo, poco relevante ya que las raíces son las mismas.
El polinomio pA(t) es de grado n y su coeficiente principal es
El teorema de Cayley-Hamilton dice que si reemplazamos t por A en la expresión de pA(t) obtenemos la matriz nula: pA(A) = 0.
Es decir, toda matriz satisface su propio polinomio característico.
La matriz A y su traspuesta tienen el mismo polinomio característico.