En álgebra lineal, se dice que dos matrices
son semejantes si existe una matriz invertible
{\displaystyle T(A)=P^{-1}AP}
En teoría de grupos, la semejanza se llama clase de conjugación.
Las matrices semejantes comparten varias propiedades: Hay dos razones para estas características: Debido a esto, para una matriz A dada, estamos interesados en encontrar una "forma normal" sencilla B que sea semejante a A: el estudio de A se reduce de esta manera al estudio de la matriz semejante (y más sencilla) B.
Por ejemplo, A se llama diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.
No todas las matrices son diagonalizables, pero por lo menos sobre los números complejos (o cualquier cuerpo algebraicamente cerrado), toda matriz es semejante a una matriz en forma de Jordan.
Otra forma normal, la forma canónica racional, se aplica en cualquier campo.
Observando las formas de Jordan o las formas canónicas racionales de A y B, puede decidirse inmediatamente si A y B son semejantes.
La semejanza de matrices no depende del cuerpo base: si L es un cuerpo conteniendo a K como subcuerpo, y A y B son dos matrices en K, entonces A y B son semejantes como matrices sobre K si y solo si son semejantes como matrices sobre L. Esto es bastante útil: uno puede agrandar en forma segura el cuerpo K, por ejemplo para obtener un cuerpo algebraicamente cerrado; las formas de Jordan pueden computarse sobre el cuerpo grande y puede usarse para determinar si las matrices dadas son semejantes sobre el cuerpo pequeño.
Este método puede usarse, por ejemplo, para mostrar que toda matriz es semejante a su traspuesta.
Si en la definición de semejanza, la matriz P puede elegirse para que sea una matriz de permutación, entonces A y B son semejantes en permutación; si P puede elegirse para que sea una matriz unitaria, entonces A y B son unitariamente equivalentes.
El teorema espectral establece que toda matriz normal es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal.
Otra relación de equivalencia importante para matrices reales es la congruencia.
Dos matrices reales A y B se llaman congruentes si hay una matriz regular real P tal que: Recordemos que un endomorfismo es una aplicación lineal entre un mismo espacio vectorial
, es decir, tal que:
f ( λ x + μ y ) = λ f ( x ) + μ f ( y ) ,
Entre el espacio vectorial de los endomorfismos
y el anillo de las matrices cuadradas existe un isomorfismo que, fijada una base en
, asigna una única matriz a cada endomorfismo (por supuesto si se cambia de base, la matriz también cambiará).
Supóngase que se tienen dos bases de
{\displaystyle v_{i}=\sum _{k}\Lambda _{ik}{\hat {v}}_{k},\qquad {\hat {v}}_{k}=\sum _{i}\Lambda _{ki}^{-1}v_{i}}
En lo que sigue usaremos el convenio de sumación de Einstein para hacer más ligera la notación.
las matrices asociadas al endomorfismo en las respectivas bases de modo que
{\displaystyle f(v_{i})=a_{ij}v_{j}}
, entonces las matrices se relacionan por: es decir hay una relación de similitud entre ellas.