Teoría de grupos
Euler, Gauss, Lagrange, Abel y Galois fueron los creadores que ponen los cimientos de esta rama del álgebra abstracta.
Además, usó la denominación de grupo o " inventó el término [...]" según E.T.Bell.
Otros importantes matemáticos que contribuyen son Cayley, Emil Artin, Emmy Noether, Ludwig Sylow, A.G.
Fue Walter Dick quien en 1882, dio la moderna definición de grupo y fue "el primero en definir el grupo libre engendrado por un número finito de generadores", según Nicolás Bourbaki.
Sophus Lie, en 1884, empezó a utilizar grupos, ahora llamados grupos de Lie, vinculados a problemas de analítica.
En tercer lugar, los grupos se utilizaron, primero implícita y más tarde explícitamente, en teoría algebraica de números.
Desde entonces, el impacto de la teoría de grupos ha sido cada vez mayor, dando lugar al nacimiento del álgebra abstracta a principios del siglo XX, la teoría de la representación, y muchos más dominios derivados influyentes.
La clasificación de grupos simples finitos es un vasto trabajo de mediados del siglo XX, que clasifica todos los finito grupo simple.
, que satisface los siguientes axiomas: La operación binaria del grupo, también denominada ley de composición interna, especifica cómo componer dos elementos para obtener un tercero.
También se puede considerar la inversión como una operación unaria[2] que a cada elemento
Por otro lado, la notación multiplicativa es aquella en la que la ley de composición interna se representa como "
para indicar la operación de a con b en G, y
en H. Un homomorfismo de grupos biyectivo se denomina isomorfismo.
Cuando existe un isomorfismo entre dos grupos, se dice que estos son isomorfos, en cuyo caso su estructura es idéntica, y solo se diferencian entre sí por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.
En esta reducción la operación de unión disjunta la convierte en una categoría monoidal.
[cita requerida] El orden de un grupo es la cardinalidad del conjunto subyacente.
Dado cualquier conjunto X y una colección G de biyecciones de X en sí mismo (conocidas como permutaciones) que es cerrada bajo composiciones e inversas, G es un grupo que actúa sobre X.
Una construcción temprana debida a Cayley exhibió cualquier grupo como un grupo de permutaciones, actuando sobre sí mismo (X = G) mediante la representación regular izquierda.
Por ejemplo, de esta forma se demuestra que para n ≥ 5, el grupo alternante An es simple, es decir, no admite ningún subgrupo normals propio.
Aquí G es un conjunto formado por matrices invertibles de orden n dado sobre un campo K que es cerrado bajo los productos e inversos.
Tal grupo actúa sobre el espacio vectorial n-dimensional Kn por transformación lineal.
No fue hasta finales del siglo XIX que la idea de un grupo abstracto empezó a tomar fuerza, donde abstracto significa que la naturaleza de los elementos se ignora de tal manera que dos grupos isomorfos se consideran como el mismo grupo.
