Prácticamente cualquier rama de las matemáticas modernas se puede describir en términos de categorías, y mediante esta descripción, es común que se revelen propiedades y similitudes muy profundas entre áreas aparentemente distintas.Para notas históricas y fundamentos más profundos véase teoría de categorías.Dos categorías también se pueden considerar equivalentes incluso si no son precisamente la misma.La categoría Rel consistde de todos los conjuntos, con relaciones binarias como morfismos.Todo conjunto preordenado (P, ≤) forma una categoría pequeña, en la cual los objetos son los miembros de P, los morfismos son flechas que apuntan de x a y con x ≤ y.Todo grupo puede ser considerado una categoría con un solo objeto en el cual todo morfismo es invertible (para todo morfismo f existe un morfismo g que es tanto inversa por derecha y por izquierda de f mediante composición) considerando al grupo actuando sobre sí mismo mediante multiplicación por izquierda.La clase de todos los conjuntos preordenados con funciones monotónicas como morfismos forma una categoría, Ord.Es una categoría concreta, o sea una categoría obtenida agregando algún tipo de estructura al Conjunto, y exigiendo que los morfismos sean funciones que respeten esa estructura agregada.The following three statements are equivalent: Las relaciones entre morfismos (como ser fg = h) pueden ser representados mediante diagramas conmutativos, donde los objetos son representados como puntos y los morfismos como flechas.
Esta es una categoría con una colección de objetos A, B, C y colección de morfismos denominados f, g,
g ∘ f
, y los lazos son las flechas identidad. Esta categoría por lo general se identifica por el
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en negrita.
