Grupo abeliano
En matemáticas, un grupo abeliano o grupo conmutativo es un grupo en el cual la operación interna satisface la propiedad conmutativa, esto es, que el resultado de la operación es independiente del orden de los argumentos.
es abeliano cuando, además de los axiomas de grupo, se satisface la siguiente condición Los grupos abelianos son así llamados en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, quien utilizó estos grupos en el estudio de las ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por radicales.
Los grupos abelianos son la base sobre la que se construyen estructuras algebraicas más complejas como los anillos y cuerpos, los espacios vectoriales o los módulos.
es un marcador de posición general para una operación concreta.
Para calificar como grupo abeliano, el conjunto y la operación,
, deben satisfacer cuatro requisitos conocidos como los axiomas de grupo abeliano (algunos autores incluyen en los axiomas algunas propiedades que pertenecen a la definición de una operación: A saber, que la operación esté definida para cualquier par ordenado de elementos de A, que el resultado sea Bien definido, y que el resultado pertenezca a A): Un grupo en el que la operación de grupo no es conmutativa se denomina "grupo no abeliano" o "grupo no conmutativo".
[2]: 11 Hay dos notaciones principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descritas a continuación.
Es corriente también usar la notación aditiva cuando se trabaja sólo con grupos abelianos, como en el caso del álgebra homológica.
, es decir, la tabla es simétrica respecto a la diagonal principal.
es abeliano, al igual que el grupo de enteros módulo n,
[4] Los números racionales, los reales, los complejos y los cuaterniones son cada uno de ellos un grupo abeliano bajo la adición.
En general, todo anillo es un grupo abeliano con respecto a su adición.
Si además es un anillo conmutativo, los elementos invertibles también forman un grupo abeliano bajo la multiplicación.
Este grupo es abeliano, y tiene la propiedad de que si dado cualquier otro subgrupo normal
contiene un subgrupo abeliano llamado centro del grupo, que está formado por los elementos que conmutan con cualquier otro del grupo.
[7] Camille Jordan dio el nombre de grupos abelianos tomados del matemático noruego Niels Henrik Abel, ya que Abel había encontrado que la conmutatividad del grupo de un polinomio implica que las raíces del polinomio pueden ser calculadas mediante radicales.
[8]: 144–145 Se dice que un grupo está finitamente generado si existe un conjunto generador del grupo que es finito.
Todo grupo finito está finitamente generado, puesto que el propio grupo es un conjunto generador de sí mismo.
Los grupos abelianos finitos y finitamente generados están totalmente clasificados por el llamado teorema de estructura, del que existen varias versiones.
Según este teorema, todo grupo abeliano finitamente generado es la suma directa de grupos cíclicos, los cuales pueden ser de dos tipos:[9] Resulta de interés estudiar primero el caso de grupos finitos, pues este resultado se aplica directamente al caso general.
Análogamente, se dice que un grupo en el cual todos los elementos son de torsión es un grupo de torsión.
Naturalmente, todos los grupos finitos son de torsión.
Este teorema se deduce del siguiente resultado, utilizando que
cuando n y m son coprimos: Teorema de descomposición primaria de grupos abelianos[12] Todo grupo abeliano finito G es isomorfo a
son números primos (no necesariamente distintos) y
El siguiente resultado indica la manera en que se puede descomponer un grupo abeliano en dos partes: una de torsión y una libre de torsión: Para todo grupo
Por tanto puede ser clasificado conforme al apartado anterior.
es un grupo abeliano finitamente generado y libre de torsión.
es un grupo abeliano libre si es isomorfo al producto directo
En resumen, todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a la suma directa donde el número de factores
