El producto directo de (G,*) y (H,·) se define como sigue:[1] Esta construcción produce un nuevo grupo, con un subgrupo normal isomorfo a G, conformado por los elementos de la forma (g,1H), y otro isomorfo a H, formado por los elementos (1G,h).
[2] El argumento inverso también vale, como demuestra el siguiente teorema: si un grupo K contiene dos subgrupos normales G y H, tales que K = GH, y G ∩ H = {1}, entonces K es isomorfo a G × H.[3] Al debilitar estas condiciones se obtiene el producto semidirecto.
Todo homomorfismo f sobre un producto directo queda determinado totalmente por sus funciones componentes
El producto directo es conmutativo en el sentido de que los productos G × H es isomorfo a H × G. También es asociativo en un sentido similar:[4] Para cualquier grupo (G,·), y cualquier entero n ≥ 0, la aplicación repetida del producto directo da el grupo de n-tuplas Gn (y el grupo trivial para n = 0).
Si se toma G = R, el grupo de los reales con la suma, el grupo Gn no es otro que Rn, el espacio euclídeo de n dimensiones bajo la suma vectorial.