La suma directa es una operación entre estructuras en álgebra abstracta, una rama de las matemáticas.
Para ver cómo se utiliza la suma directa en álgebra abstracta, considérese un tipo de estructura más elemental, un grupo abeliano.
En otras palabras, la suma se define en forma de coordenadas.
También se pueden formar sumas directas con cualquier número finito de sumandos, por ejemplo
Esto se basa en el hecho de que la suma directa es asociativa excluyendo isomorfismos.
La suma directa de un número finito de grupos, espacios vectoriales o módulos abelianos es canónicamente isomorfa al producto directo correspondiente.
Sin embargo, esto es falso para algunos objetos algebraicos, como los grupos no abelianos.
En el caso de que se combinen infinitos objetos, la suma directa y el producto directo no son isomorfos, ni siquiera para grupos abelianos, espacios vectoriales o módulos.
A menudo, si se usa un signo +, todas las coordenadas excepto un número finito deben ser cero, mientras que si se usa alguna forma de multiplicación, todas las coordenadas menos un número finito deben ser 1.
para todas menos un número finito de i.
[1] El plano xy, un espacio vectorial bidimensional, puede considerarse como la suma directa de dos espacios vectoriales unidimensionales, concretamente los ejes x e y.
En esta suma directa, los ejes x e y se cruzan solo en el origen (el vector cero).
En el caso de grupos, si la operación grupal se escribe como
Cuando el conjunto de índices es infinito, la suma directa no es lo mismo que el producto directo, ya que la suma directa tiene el requisito adicional de que todas las coordenadas, excepto un número finito, deben ser cero.
Se hace una distinción entre sumas directas internas y externas, aunque las dos son isomorfas.
Como ejemplo de suma directa interna, considérese
Esto se puede expresar como una suma directa interna
Los ejemplos más familiares de esta construcción dan cuando se consideran espacios vectoriales, que son módulos sobre un cuerpo.
Caso general: En teoría de categorías, la suma directa es a menudo, pero no siempre, el coproducto en la categoría de los objetos matemáticos en cuestión.
Por ejemplo, en la categoría de grupos abelianos, la suma directa es un coproducto.
Entonces, para esta categoría, una suma directa categórica a menudo se denomina simplemente coproducto para evitar cualquier posible confusión.
es la aplicación natural obtenida mediante la acción de coordenadas como se indicó anteriormente.
viene dado como Además, si se trata a
de dos anillos cuando se refieren al producto directo
es una colección infinita de anillos no triviales, entonces la suma directa de los grupos aditivos subyacentes se puede equipar con una multiplicación por términos, pero esto produce un pseudoanillo, es decir, un anillo sin identidad multiplicativa.
si ambas son matrices cuadradas (y a una matriz por bloques análoga, en caso contrario).
Se dice que un espacio vectorial topológico (EVT)
A diferencia de las sumas directas algebraicas, la existencia de dicho complemento ya no está garantizada para las sumas directas topológicas.
Pero todo espacio de Banach que no sea un espacio de Hilbert necesariamente posee algún subespacio vectorial cerrado no complementado.
para todos los j. Por lo tanto, la suma directa es el coproducto en la categoría correspondiente.