Matriz por bloques

[1]​ Intuitivamente, una matriz interpretada como una matriz por bloques se puede visualizar como la matriz original con una colección de líneas horizontales y verticales que la dividen, o particionan, en una colección de matrices más pequeñas.[2]​ Cualquier matriz se puede interpretar como una matriz por bloques de una o más formas, con cada interpretación definida por la forma en que se dividen sus filas y columnas.Esta noción se puede hacer más precisa mediante una matrizLa matriz original se considera entonces como el total de estos grupos, en el sentido de que la entradade la matriz original corresponde uno a uno con alguna entrada[3]​ La matriz se puede dividir en cuatro bloques de 2 × 2 La matriz particionada se puede escribir como Es posible utilizar un producto matricial dividido por bloques que involucre solo el álgebra en las submatrices de los factores.de manera que todos los productos de las submatrices que se vayan a utilizar estén definidos.que son compatibles con las particiones de, el producto de matrices se puede abordar por bloques, dandose calculan multiplicando: O, utilizando el convenio de suma de Einstein que suma implícitamente sobre índices repetidos: Si una matriz se divide en cuatro bloques, puede ser invertida de la siguiente manera: donde A y D son matrices cuadradas de tamaño arbitrario, y B y C son conformables para particiones.Además, A y el complemento de Schur de A en P: P/A = D − CA−1B deben ser invertibles.Si A y D son ambas invertibles, entonces: Por la identidad de Weinstein-Aronszajn, una de las dos matrices en la matriz diagonal de bloques es invertible exactamente cuando la otra lo es.Es decir, una matriz diagonal por bloques A tiene la forma donde Ak es una matriz cuadrada para todo k = 1, ..., n. En otras palabras, la matriz A es la suma directa de A1, ..., An.También se puede indicar como A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ An o diag(A1, A2, ..., An) (este último es el mismo formalismo utilizado para una matriz diagonal).Para el determinante y la traza, se conservan las siguientes propiedades Una matriz diagonal por bloques es invertible si y solo si cada uno de sus bloques de la diagonal principal es invertible, y en este caso su inversa es otra matriz diagonal por bloques dada por Los autovalores y autovectores deUna matriz tridiagonal por bloques es otra matriz por bloques especial, que como la matriz diagonal de bloques es una matriz cuadrada, que tiene matrices cuadradas (bloques) en la diagonal inferior, en la diagonal principal y en la diagonal superior, y todos los demás bloques son matrices cero.Es esencialmente una matriz tridiagonal pero tiene submatrices en lugar de escalares.Una matriz tridiagonal por bloques A tiene la forma donde Ak, Bk y Ck son submatrices cuadradas de la diagonal inferior, principal y superior respectivamente.El algoritmo para matrices tridiagonales, usado para la solución eficiente de sistemas de ecuaciones que involucran una matriz tridiagonal, también se puede aplicar usando operaciones matriciales para matrices tridiagonales por bloques (véase también descomposición en bloques LU).Una matriz de Toeplitz por bloques es otra matriz por bloques especial, que contiene bloques que se repiten en las diagonales de la matriz, al igual que una matriz de Toeplitz tiene elementos repetidos en la diagonal.Una matriz de Toeplitz por bloques A tiene la forma También se puede definir una forma especial de matriz transpuesta para matrices por bloques, donde los bloques individuales se reordenan pero no se transponen.[7]​ Al igual que con el operador traza convencional, la transposición por bloques es una aplicación lineal tal queno se mantiene a menos que los bloques dePara cualquier matriz arbitraria A (de tamaño m × n) y B (de tamaño p × q), se define la suma directa de A y B, denotada por AB como Por ejemplo, Esta operación se generaliza naturalmente a matrices de dimensiones arbitrarias (siempre que A y B tengan el mismo número de dimensiones).Debe tenerse en cuenta que cualquier elemento en la suma directa de dos espacios vectoriales de matrices podría representarse como la suma directa de dos matrices.Siempre es particularmente significativo si un bloque es la matriz cero; que conlleva la información de que un sumando se aplica sobre sí mismo en una suma parcial.Dada la interpretación a través de aplicaciones lineales y sumas directas, existe un tipo especial de matriz por bloques propio de las matrices cuadradas (en el caso m = n).En ese caso, por ejemplo, los bloques diagonales en el sentido obvio son todos cuadrados.Esta técnica se utiliza para reducir los cálculos con matrices; en expansiones de filas y columnas; y en diversas aplicaciones en ciencias de la computación, incluido el diseño de chips integrados.