De hecho, estas cuatro filas son linealmente independientes y forman la matriz identidad (por diseño, no por coincidencia).También como se mencionó anteriormente, las tres filas de H deberían resultar familiares.Estas filas se utilizan para calcular el vector de síndrome en el extremo receptor y si el vector de síndrome es vector nulo (todo ceros), la palabra recibida no contiene errores; si no es cero, el valor indica qué bit se ha invertido.El segundo diagrama (mostrado a la derecha) es idéntico pero, en cambio, están marcadas las posiciones de los bits.Específicamente, un canal binario simétrico implica que la corrupción generadora de errores no favorece ni a cero ni a uno (es decir, es simétrica al causar errores).Además, se supone que todos los vectores fuente son equiprobables.Realizando esta multiplicación (nuevamente, con entradas módulo 2): Dado que el síndrome z es el vector nulo, el receptor puede concluir que no se ha producido ningún error.Por lo tanto, la expresión anterior significa un error de un solo bit en el lugarAhora, si se multiplica este vector por H: Dado que x son los datos transmitidos, no hay error y, como resultado, el producto de H y x es cero.Por lo tanto Ahora, el producto de H por el vector base estándarEn el ejemplo anterior, los círculos rojo y verde tienen mala paridad, por lo que el bit correspondiente a la intersección de rojo y verde, pero no azul, indica el bit con el error.Por lo tanto, se ha detectado un error en el bit 5 y se puede corregir (simplemente invirtiendo o negando su valor): El valor recibido, una vez corregido, coincide con el valor x anteriormente considerado.Una vez que se ha determinado que el vector recibido está libre de errores, o si se produjo un error se ha corregido (suponiendo que solo son posibles errores de un bit o cero), los datos recibidos deben decodificarse nuevamente en los cuatro bits originales.Primero, se define una matriz R: Entonces el valor recibido, pr, es igual a Rr.El código Hamming (7,4) está estrechamente relacionado con la retícula E7 y, de hecho, se puede usar para construirla, o más precisamente, su doble retícula E7∗ (una construcción similar para E7 usa el código dual [7,3,4]2).
Representación gráfica de los 4 bits de datos
d
1
a
d
4
y 3 bits de paridad
p
1
a
p
3
y qué bits de paridad se aplican a qué bits de datos
Posición de los bits de datos y de los bits de paridad
Correspondencia en el ejemplo
x
. Las paridades de los círculos rojo, verde y azul son pares
Un error de bit en el bit 5 provoca una mala paridad en los círculos rojo y verde
Se introduce un error de bit en los bits 4 y 5 (se muestra en texto azul) con una mala paridad solo en el círculo verde (se muestra en texto rojo)
